Analysis Beispiele

$10 x y y' = 1 - y^{2}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung um.

$10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$

Schritt 2

Separiere die Variablen.

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Schritt 2.1

Teile jeden Ausdruck in $10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$ durch $10 x y$ und vereinfache.

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Schritt 2.1.1

Teile jeden Ausdruck in $10 x y \frac{d y}{d x} = 1 - y^{2}$ durch $10 x y$ .

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 2.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 x y \frac{d y}{d x}}{10 x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Schritt 2.1.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Schritt 2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 2.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Schritt 2.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Schritt 2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 2.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Schritt 2.1.2.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y^{2}}{10 x y}$

Schritt 2.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 2.1.3.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $- y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{10 x y}$

Schritt 2.1.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.1.3.1.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $10 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{y (10 x)}$

Schritt 2.1.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{y (- y)}{y (10 x)}$

Schritt 2.1.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} + \frac{- y}{10 x}$

Schritt 2.1.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y}{10 x}$

Schritt 2.2

Faktorisiere.

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Schritt 2.2.1

Um $- \frac{y}{10 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y}{10 x} \cdot \frac{y}{y}$

Schritt 2.2.2

Mutltipliziere $\frac{y}{10 x}$ mit $\frac{y}{y}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{10 x y} - \frac{y \cdot y}{10 x y}$

Schritt 2.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1 - y \cdot y}{10 x y}$

Schritt 2.2.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.2.4.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - y \cdot y}{10 x y}$

Schritt 2.2.4.2

Schreibe $y \cdot y$ als $y^{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1^{2} - y^{2}}{10 x y}$

Schritt 2.2.4.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 x y}$

Schritt 2.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 2.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)}$ .

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} (\frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.5.1

Mutltipliziere $\frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y x}$

Schritt 2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10 y$ .

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Schritt 2.5.2.1

Faktorisiere $10 y$ aus $10 y x$ heraus.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y (x)}$

Schritt 2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{10 y x}$

Schritt 2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{x}$

Schritt 2.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $(1 + y) (1 - y)$ .

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Schritt 2.5.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{(1 + y) (1 - y)} \cdot \frac{(1 + y) (1 - y)}{x}$

Schritt 2.5.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 2.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \frac{1}{x} d x$

Schritt 3

Integriere beide Seiten.

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Schritt 3.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{10 y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Da $10$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $10$ aus dem Integral.

$10 \int \frac{y}{(1 + y) (1 - y)} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.2

Sei $u = (1 + y) (1 - y)$ . Dann ist $d u = - 2 y d y$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 3.2.2.1

Es sei $u = (1 + y) (1 - y)$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Differenziere $(1 + y) (1 - y)$ .

$\frac{d}{d y} [(1 + y) (1 - y)]$

Schritt 3.2.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ gleich $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ ist mit $f (y) = 1 + y$ und $g (y) = 1 - y$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [1 - y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 3.2.2.1.3

Differenziere.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 - y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$(1 + y) (0 + \frac{d}{d y} [- y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [- y]$ .

$(1 + y) \frac{d}{d y} [- y] + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 3.2.2.1.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- y$ nach $y$ gleich $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$(1 + y) (- \frac{d}{d y} [y]) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 3.2.2.1.3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$(1 + y) (- 1 \cdot 1) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 3.2.2.1.3.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.1.3.6.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(1 + y) \cdot - 1 + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 3.2.2.1.3.6.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $1 + y$ .

$- 1 \cdot (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 3.2.2.1.3.6.3

Schreibe $- 1 (1 + y)$ als $- (1 + y)$ um.

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [1 + y]$

Schritt 3.2.2.1.3.7

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (\frac{d}{d y} [1] + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 3.2.2.1.3.8

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$- (1 + y) + (1 - y) (0 + \frac{d}{d y} [y])$

Schritt 3.2.2.1.3.9

Addiere $0$ und $\frac{d}{d y} [y]$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 3.2.2.1.3.10

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- (1 + y) + (1 - y) \cdot 1$

Schritt 3.2.2.1.3.11

Mutltipliziere $1 - y$ mit $1$ .

$- (1 + y) + 1 - y$

Schritt 3.2.2.1.4

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 1 \cdot 1 - y + 1 - y$

Schritt 3.2.2.1.4.2

Vereine die Terme

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Schritt 3.2.2.1.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 - y + 1 - y$

Schritt 3.2.2.1.4.2.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$- y + 0 - y$

Schritt 3.2.2.1.4.2.3

Addiere $- y$ und $0$ .

$- y - y$

Schritt 3.2.2.1.4.2.4

Subtrahiere $y$ von $- y$ .

$- 2 y$

Schritt 3.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$10 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$10 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{2}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$10 \int - \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.3.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$10 \int - \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$10 (- \int \frac{1}{2 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $10$ .

$- 10 \int \frac{1}{2 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.6

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- 10 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.7

Vereinfache.

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Schritt 3.2.7.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 10$ .

$\frac{- 10}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.7.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $2$ .

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Schritt 3.2.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 5}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.7.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.2.7.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.7.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.7.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 5}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.7.2.2.4

Dividiere $- 5$ durch $1$ .

$- 5 \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.8

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- 5 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.9

Vereinfache.

$- 5 \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.2.10

Ersetze alle $u$ durch $(1 + y) (1 - y)$ .

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 3.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 3.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- 5 \ln (| (1 + y) (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Multipliziere $(1 + y) (1 - y)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 \ln (| 1 (1 - y) + y (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 4.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y (1 - y) |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 4.2.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$- 5 \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 4.2.2

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 4.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.2.1.1

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$- 5 \ln (| 1 + 1 (- y) + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 4.2.2.1.2

Mutltipliziere $- y$ mit $1$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y \cdot 1 + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 4.2.2.1.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y + y (- y) |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 4.2.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- 5 \ln (| 1 - y + y - y \cdot y |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 4.2.2.1.5

Multipliziere $y$ mit $y$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.2.2.1.5.1

Bewege $y$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y - (y \cdot y) |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 4.2.2.1.5.2

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$- 5 \ln (| 1 - y + y - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 4.2.2.2

Addiere $- y$ und $y$ .

$- 5 \ln (| 1 + 0 - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 4.2.2.3

Addiere $1$ und $0$ .

$- 5 \ln (| 1 - y^{2} |) - \ln (| x |) = C$

Schritt 4.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache $- 5 \ln (| 1 - y^{2} |)$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) - \ln (| x |) = C$

Schritt 4.4

Addiere $\ln (| x |)$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$

Schritt 4.5

Teile jeden Ausdruck in $- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = C + \ln (| x |)$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 4.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 4.5.2.2

Dividiere $\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5})$ durch $1$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 4.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.5.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 4.5.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 4.5.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Schritt 4.5.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot \ln (| x |)$ als $- \ln (| x |)$ um.

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) = - C - \ln (| x |)$

Schritt 4.6

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5}) + \ln (| x |) = - C$

Schritt 4.7

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |) = - C$

Schritt 4.8

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |)} = e^{- C}$

Schritt 4.9

Schreibe $\ln ({| 1 - y^{2} |}^{5} | x |) = - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = {| 1 - y^{2} |}^{5} | x |$

Schritt 4.10

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 4.10.1

Schreibe die Gleichung als ${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ um.

${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$

Schritt 4.10.2

Teile jeden Ausdruck in ${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ durch $| x |$ und vereinfache.

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Schritt 4.10.2.1

Teile jeden Ausdruck in ${| 1 - y^{2} |}^{5} | x | = e^{- C}$ durch $| x |$ .

$\frac{{| 1 - y^{2} |}^{5} | x |}{| x |} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

Schritt 4.10.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.10.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| x |$ .

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Schritt 4.10.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{{| 1 - y^{2} |}^{5} | x |}{| x |} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

Schritt 4.10.2.2.1.2

Dividiere ${| 1 - y^{2} |}^{5}$ durch $1$ .

${| 1 - y^{2} |}^{5} = \frac{e^{- C}}{| x |}$

Schritt 4.10.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$| 1 - y^{2} | = \sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$

Schritt 4.10.4

Vereinfache $\sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$ .

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Schritt 4.10.4.1

Schreibe $\sqrt[5]{\frac{e^{- C}}{| x |}}$ als $\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ um.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$

Schritt 4.10.4.2

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}} \cdot \frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

Schritt 4.10.4.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 4.10.4.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[5]{e^{- C}}}{\sqrt[5]{| x |}}$ mit $\frac{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{\sqrt[5]{| x |} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

Schritt 4.10.4.3.2

Potenziere $\sqrt[5]{| x |}$ mit $1$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{1} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}$

Schritt 4.10.4.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{1 + 4}}$

Schritt 4.10.4.3.4

Addiere $1$ und $4$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{\sqrt[5]{| x |}}^{5}}$

Schritt 4.10.4.3.5

Schreibe ${\sqrt[5]{| x |}}^{5}$ als $| x |$ um.

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Schritt 4.10.4.3.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{| x |}$ als ${| x |}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{({| x |}^{\frac{1}{5}})}^{5}}$

Schritt 4.10.4.3.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{1}{5} \cdot 5}}$

Schritt 4.10.4.3.5.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 4.10.4.3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 4.10.4.3.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{\frac{5}{5}}}$

Schritt 4.10.4.3.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{{| x |}^{1}}$

Schritt 4.10.4.3.5.5

Vereinfache.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} {\sqrt[5]{| x |}}^{4}}{| x |}$

Schritt 4.10.4.4

Schreibe ${\sqrt[5]{| x |}}^{4}$ als $\sqrt[5]{{| x |}^{4}}$ um.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C}} \sqrt[5]{{| x |}^{4}}}{| x |}$

Schritt 4.10.4.5

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{e^{- C} {| x |}^{4}}}{| x |}$

Schritt 4.10.4.6

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[5]{e^{- C} {| x |}^{4}}}{| x |}$ um.

$| 1 - y^{2} | = \frac{\sqrt[5]{{| x |}^{4} e^{- C}}}{| x |}$

Schritt 4.10.5

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$1 - y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{{| x |}^{4} e^{- C}}}{| x |}$

Schritt 4.10.6

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{4}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$1 - y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}$

Schritt 4.10.7

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$

Schritt 4.10.8

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 4.10.8.1

Teile jeden Ausdruck in $- y^{2} = \pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |} - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- y^{2}}{- 1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.10.8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.10.8.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y^{2}}{1} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.10.8.2.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.10.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.10.8.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.10.8.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}}{- 1}$ .

$y^{2} = - 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.10.8.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |})$ als $- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |})$ um.

$y^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 4.10.8.3.1.3

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$y^{2} = - (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + 1$

Schritt 4.10.9

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} e^{- C}}}{| x |}) + 1}$

Schritt 5

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \sqrt{- (\pm \frac{\sqrt[5]{x^{4} C}}{| x |}) + 1}$