Analysis Beispiele

$\frac{d T}{d t} + 0.069 T = 2.07$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (t) d t}$ , wobei $P (t) = 0.069$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int 0.069 d t}$

Schritt 1.2

Wende die Konstantenregel an.

$e^{0.069 t + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{0.069 t}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{0.069 t}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{0.069 t}$ .

$e^{0.069 t} \frac{d T}{d t} + e^{0.069 t} (0.069 T) = e^{0.069 t} \cdot 2.07$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{0.069 t} \frac{d T}{d t} + 0.069 e^{0.069 t} T = e^{0.069 t} \cdot 2.07$

Schritt 2.3

Bringe $2.07$ auf die linke Seite von $e^{0.069 t}$ .

$e^{0.069 t} \frac{d T}{d t} + 0.069 e^{0.069 t} T = 2.07 \cdot e^{0.069 t}$

Schritt 2.4

Stelle die Faktoren in $e^{0.069 t} \frac{d T}{d t} + 0.069 e^{0.069 t} T = 2.07 e^{0.069 t}$ um.

$e^{0.069 t} \frac{d T}{d t} + 0.069 T e^{0.069 t} = 2.07 e^{0.069 t}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d t} [e^{0.069 t} T] = 2.07 e^{0.069 t}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d t} [e^{0.069 t} T] d t = \int 2.07 e^{0.069 t} d t$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{0.069 t} T = \int 2.07 e^{0.069 t} d t$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $2.07$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2.07$ aus dem Integral.

$e^{0.069 t} T = 2.07 \int e^{0.069 t} d t$

Schritt 6.2

Sei $u = 0.069 t$ . Dann ist $d u = 0.069 d t$ , folglich $\frac{1}{0.069} d u = d t$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.1

Es sei $u = 0.069 t$ . Ermittle $\frac{d u}{d t}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Differenziere $0.069 t$ .

$\frac{d}{d t} [0.069 t]$

Schritt 6.2.1.2

Da $0.069$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $0.069 t$ nach $t$ gleich $0.069 \frac{d}{d t} [t]$ .

$0.069 \frac{d}{d t} [t]$

Schritt 6.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0.069 \cdot 1$

Schritt 6.2.1.4

Mutltipliziere $0.069$ mit $1$ .

$0.069$

Schritt 6.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{0.069 t} T = 2.07 \int e^{u} \frac{1}{0.069} d u$

Schritt 6.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{0.069}$ .

$e^{0.069 t} T = 2.07 \int \frac{e^{u}}{0.069} d u$

Schritt 6.4

Da $\frac{1}{0.069}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{0.069}$ aus dem Integral.

$e^{0.069 t} T = 2.07 (\frac{1}{0.069} \int e^{u} d u)$

Schritt 6.5

Kombiniere $\frac{1}{0.069}$ und $2.07$ .

$e^{0.069 t} T = \frac{2.07}{0.069} \int e^{u} d u$

Schritt 6.6

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$e^{0.069 t} T = \frac{2.07}{0.069} (e^{u} + C)$

Schritt 6.7

Schreibe $\frac{2.07}{0.069} (e^{u} + C)$ als $30 e^{u} + C$ um.

$e^{0.069 t} T = 30 e^{u} + C$

Schritt 6.8

Ersetze alle $u$ durch $0.069 t$ .

$e^{0.069 t} T = 30 e^{0.069 t} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{0.069 t} T = 30 e^{0.069 t} + C$ durch $e^{0.069 t}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{0.069 t} T = 30 e^{0.069 t} + C$ durch $e^{0.069 t}$ .

$\frac{e^{0.069 t} T}{e^{0.069 t}} = \frac{30 e^{0.069 t}}{e^{0.069 t}} + \frac{C}{e^{0.069 t}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{0.069 t}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{0.069 t} T}{e^{0.069 t}} = \frac{30 e^{0.069 t}}{e^{0.069 t}} + \frac{C}{e^{0.069 t}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $T$ durch $1$ .

$T = \frac{30 e^{0.069 t}}{e^{0.069 t}} + \frac{C}{e^{0.069 t}}$

Schritt 7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{0.069 t}$ .

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Schritt 7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$T = \frac{30 e^{0.069 t}}{e^{0.069 t}} + \frac{C}{e^{0.069 t}}$

Schritt 7.3.1.2

Dividiere $30$ durch $1$ .

$T = 30 + \frac{C}{e^{0.069 t}}$