Analysis Beispiele

Solve the differential equation: $x \frac{d y}{d x} + y = (x^{2} + 3 x) e^{\frac{2}{3} x}$

Schritt 1

Prüfe, ob die linke Seite der Gleichung das Ergebnis der Ableitung des Ausdrucks $x y$ ist.

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Schritt 1.1

Differenziere unter Anwendung der Produktregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ gleich $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ ist mit $f (x) = x$ und $g (x) = y$ .

$x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.2

Schreibe $\frac{d}{d x} [y]$ als $y'$ um.

$x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x y' + y \cdot 1$

Schritt 1.4

Ersetze $y'$ durch $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y \cdot 1$

Schritt 1.5

Stelle $y$ und $1$ um.

$x \frac{d y}{d x} + 1 \cdot y$

Schritt 1.6

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y$

Schritt 2

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [x y] = (x^{2} + 3 x) e^{\frac{2}{3} x}$

Schritt 3

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int (x^{2} + 3 x) e^{\frac{2}{3} x} d x$

Schritt 4

Integriere die linke Seite.

$x y = \int (x^{2} + 3 x) e^{\frac{2}{3} x} d x$

Schritt 5

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 5.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2} + 3 x$ und $d v = e^{\frac{2}{3} x}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) (\frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x}) - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) d x$

Schritt 5.2

Vereinfache.

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Schritt 5.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) (\frac{3}{2} e^{\frac{2 x}{3}}) - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) d x$

Schritt 5.2.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) d x$

Schritt 5.3

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - (\frac{3}{2} \int e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) d x)$

Schritt 5.4

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} \int e^{\frac{2 x}{3}} (2 x + 3) d x$

Schritt 5.5

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = 2 x + 3$ und $d v = e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) (\frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x}) - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} \cdot 2 d x)$

Schritt 5.6

Vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) (\frac{3}{2} e^{\frac{2 x}{3}}) - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} \cdot 2 d x)$

Schritt 5.6.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2}{3} x} \cdot 2 d x)$

Schritt 5.6.3

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3}{2} e^{\frac{2 x}{3}} \cdot 2 d x)$

Schritt 5.6.4

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot 2 d x)$

Schritt 5.6.5

Kombiniere $\frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ und $2$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}} \cdot 2}{2} d x)$

Schritt 5.6.6

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{6 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} d x)$

Schritt 5.6.7

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 5.6.7.1

Faktorisiere $2$ aus $6 e^{\frac{2 x}{3}}$ heraus.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} d x)$

Schritt 5.6.7.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.6.7.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2 (1)} d x)$

Schritt 5.6.7.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2 \cdot 1} d x)$

Schritt 5.6.7.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{1} d x)$

Schritt 5.6.7.2.4

Dividiere $3 e^{\frac{2 x}{3}}$ durch $1$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \int 3 e^{\frac{2 x}{3}} d x)$

Schritt 5.7

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - (3 \int e^{\frac{2 x}{3}} d x))$

Schritt 5.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int e^{\frac{2 x}{3}} d x)$

Schritt 5.9

Sei $u = \frac{2 x}{3}$ . Dann ist $d u = \frac{2}{3} d x$ , folglich $\frac{3}{2} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.9.1

Es sei $u = \frac{2 x}{3}$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 5.9.1.1

Differenziere $\frac{2 x}{3}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{2 x}{3}]$

Schritt 5.9.1.2

Da $\frac{2}{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x}{3}$ nach $x$ gleich $\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 5.9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{2}{3} \cdot 1$

Schritt 5.9.1.4

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$\frac{2}{3}$

Schritt 5.9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int e^{u} \frac{1}{\frac{2}{3}} d u)$

Schritt 5.10

Vereinfache.

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Schritt 5.10.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{2}{3}$ zu dividieren.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int e^{u} (1 (\frac{3}{2})) d u)$

Schritt 5.10.2

Mutltipliziere $\frac{3}{2}$ mit $1$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int e^{u} \frac{3}{2} d u)$

Schritt 5.10.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{3}{2}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int \frac{e^{u} \cdot 3}{2} d u)$

Schritt 5.10.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{u}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 \int \frac{3 e^{u}}{2} d u)$

Schritt 5.11

Da $\frac{3}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{3}{2}$ aus dem Integral.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 3 (\frac{3}{2} \int e^{u} d u))$

Schritt 5.12

Vereinfache.

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Schritt 5.12.1

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $- 3$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{3 \cdot - 3}{2} \int e^{u} d u)$

Schritt 5.12.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{- 9}{2} \int e^{u} d u)$

Schritt 5.12.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} \int e^{u} d u)$

Schritt 5.13

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$x y = (x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} (e^{u} + C))$

Schritt 5.14

Vereinfache.

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Schritt 5.14.1

Schreibe $(x^{2} + 3 x) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} (e^{u} + C))$ als $\frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} e^{u}) + C$ um.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9}{2} e^{u}) + C$

Schritt 5.14.2

Vereinfache.

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Schritt 5.14.2.1

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{9}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{e^{u} \cdot 9}{2}) + C$

Schritt 5.14.2.2

Bringe $9$ auf die linke Seite von $e^{u}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 \cdot e^{u}}{2}) + C$

Schritt 5.14.2.3

Um $(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} ((2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{9 e^{u}}{2}) + C$

Schritt 5.14.2.4

Kombiniere $(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} (\frac{(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot 2}{2} - \frac{9 e^{u}}{2}) + C$

Schritt 5.14.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot 2 - 9 e^{u}}{2} + C$

Schritt 5.14.2.6

Kombiniere $2$ und $\frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - 9 e^{u}}{2} + C$

Schritt 5.14.2.7

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{6 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - 9 e^{u}}{2} + C$

Schritt 5.14.2.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 5.14.2.8.1

Faktorisiere $2$ aus $6 e^{\frac{2 x}{3}}$ heraus.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - 9 e^{u}}{2} + C$

Schritt 5.14.2.8.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.14.2.8.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2 (1)} - 9 e^{u}}{2} + C$

Schritt 5.14.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{2 (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2 \cdot 1} - 9 e^{u}}{2} + C$

Schritt 5.14.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) \frac{3 e^{\frac{2 x}{3}}}{1} - 9 e^{u}}{2} + C$

Schritt 5.14.2.8.2.4

Dividiere $3 e^{\frac{2 x}{3}}$ durch $1$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{(2 x + 3) (3 e^{\frac{2 x}{3}}) - 9 e^{u}}{2} + C$

Schritt 5.14.2.9

Bringe $3$ auf die linke Seite von $2 x + 3$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3}{2} \cdot \frac{3 \cdot (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}}{2} + C$

Schritt 5.14.2.10

Mutltipliziere $\frac{3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}}{2}$ mit $\frac{3}{2}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{(3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}) \cdot 3}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 5.14.2.11

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{(3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}) \cdot 3}{4} + C$

Schritt 5.14.2.12

Bringe $3$ auf die linke Seite von $3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u}$ .

$x y = \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} - \frac{3 \cdot (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

Schritt 5.14.2.13

Um $\frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

Schritt 5.14.2.14

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.14.2.14.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}})}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}}) \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

Schritt 5.14.2.14.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}}) \cdot 2}{4} - \frac{3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

Schritt 5.14.2.15

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (3 e^{\frac{2 x}{3}}) \cdot 2 - 3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

Schritt 5.14.2.16

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{u})}{4} + C$

Schritt 5.15

Ersetze alle $u$ durch $\frac{2 x}{3}$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{\frac{2 x}{3}})}{4} + C$

Schritt 5.16

Vereinfache.

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Schritt 5.16.1

Wende das Distributivgesetz an.

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (3 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (- 9 e^{\frac{2 x}{3}})}{4} + C$

Schritt 5.16.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 9 ((2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}}) - 3 (- 9 e^{\frac{2 x}{3}})}{4} + C$

Schritt 5.16.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 3$ .

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 9 ((2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}}) + 27 e^{\frac{2 x}{3}}}{4} + C$

Schritt 5.16.4

Stelle die Faktoren in $- 9 (2 x + 3) e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2 x}{3}}$ um.

$x y = \frac{x (9 e^{\frac{2 x}{3}})}{2} + \frac{x^{2} (6 e^{\frac{2 x}{3}}) - 9 e^{\frac{2 x}{3}} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2 x}{3}}}{4} + C$

Schritt 5.17

Stelle die Terme um.

$x y = \frac{9}{2} x e^{\frac{2}{3} x} + \frac{1}{4} (x^{2} (6 e^{\frac{2}{3} x}) - 9 e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

Schritt 6

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 6.1

Vereinfache.

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Schritt 6.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2}{3} x} - 9 e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

Schritt 6.1.1.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{\frac{2}{3} x} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

Schritt 6.1.1.3

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{\frac{2 x}{3}} (2 x + 3) + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

Schritt 6.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 e^{\frac{2 x}{3}} (2 x) - 9 e^{\frac{2 x}{3}} \cdot 3 + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

Schritt 6.1.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 \cdot 2 e^{\frac{2 x}{3}} x - 9 e^{\frac{2 x}{3}} \cdot 3 + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

Schritt 6.1.1.6

Mutltipliziere $3$ mit $- 9$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 \cdot 2 e^{\frac{2 x}{3}} x - 27 e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

Schritt 6.1.1.7

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x - 27 e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2}{3} x}) + C$

Schritt 6.1.1.8

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x - 27 e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2 x}{3}}) + C$

Schritt 6.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x - 27 e^{\frac{2 x}{3}} + 27 e^{\frac{2 x}{3}}$ .

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Schritt 6.1.2.1

Addiere $- 27 e^{\frac{2 x}{3}}$ und $27 e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x + 0) + C$

Schritt 6.1.2.2

Addiere $6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x$ und $0$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} \cdot (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Schritt 6.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{4} (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Schritt 6.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{2 (2)} (6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Schritt 6.1.4.2

Faktorisiere $2$ aus $6 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}$ heraus.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{2 (2)} (2 (3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}})) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Schritt 6.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}})) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Schritt 6.1.4.4

Forme den Ausdruck um.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{1}{2} (3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Schritt 6.1.5

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3}{2} (x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Schritt 6.1.6

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{3}{2}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3}{2} e^{\frac{2 x}{3}} + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Schritt 6.1.7

Kombiniere $\frac{x^{2} \cdot 3}{2}$ und $e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{4} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Schritt 6.1.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.1.8.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Schritt 6.1.8.2

Faktorisiere $2$ aus $- 18 e^{\frac{2 x}{3}} x$ heraus.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{2 (2)} (2 (- 9 e^{\frac{2 x}{3}} x)) + C$

Schritt 6.1.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{2 \cdot 2} (2 (- 9 e^{\frac{2 x}{3}} x)) + C$

Schritt 6.1.8.4

Forme den Ausdruck um.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{1}{2} (- 9 e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Schritt 6.1.9

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{2}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{- 9}{2} (e^{\frac{2 x}{3}} x) + C$

Schritt 6.1.10

Kombiniere $e^{\frac{2 x}{3}}$ und $\frac{- 9}{2}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{e^{\frac{2 x}{3}} \cdot - 9}{2} x + C$

Schritt 6.1.11

Kombiniere $\frac{e^{\frac{2 x}{3}} \cdot - 9}{2}$ und $x$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{x^{2} \cdot 3 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{e^{\frac{2 x}{3}} \cdot - 9 x}{2} + C$

Schritt 6.1.12

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.12.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 \cdot x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{e^{\frac{2 x}{3}} \cdot - 9 x}{2} + C$

Schritt 6.1.12.2

Bringe $- 9$ auf die linke Seite von $e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{- 9 \cdot e^{\frac{2 x}{3}} x}{2} + C$

Schritt 6.1.12.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 e^{\frac{2 x}{3}} x}{2} + C$

Schritt 6.1.13

Stelle die Faktoren in $\frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 e^{\frac{2 x}{3}} x}{2}$ um.

$x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C$

Schritt 6.1.14

Entferne die Klammern.

$x y = \frac{9}{2} \cdot x e^{\frac{2}{3} x} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C$

Schritt 6.2

Teile jeden Ausdruck in $x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x y = \frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C$ durch $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x})}{x} + \frac{\frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{- \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x})}{x} + \frac{\frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{- \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x})}{x} + \frac{\frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{- \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Schritt 6.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.3.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2}{3} x}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

Schritt 6.2.3.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.2.3.1.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$y = \frac{\frac{9}{2} \cdot (x e^{\frac{2 x}{3}}) + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

Schritt 6.2.3.1.2.2

Multipliziere $\frac{9}{2} (x e^{\frac{2 x}{3}})$ .

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Schritt 6.2.3.1.2.2.1

Kombiniere $x$ und $\frac{9}{2}$ .

$y = \frac{\frac{x \cdot 9}{2} e^{\frac{2 x}{3}} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

Schritt 6.2.3.1.2.2.2

Kombiniere $\frac{x \cdot 9}{2}$ und $e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$y = \frac{\frac{x \cdot 9 e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

Schritt 6.2.3.1.2.3

Bringe $9$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{\frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} - \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2} + C}{x}$

Schritt 6.2.3.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.2.3.1.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{C + \frac{9 x e^{\frac{2 x}{3}} + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 x e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

Schritt 6.2.3.1.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $9 x e^{\frac{2 x}{3}} + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} - 9 x e^{\frac{2 x}{3}}$ .

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Schritt 6.2.3.1.3.2.1

Subtrahiere $9 x e^{\frac{2 x}{3}}$ von $9 x e^{\frac{2 x}{3}}$ .

$y = \frac{C + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}} + 0}{2}}{x}$

Schritt 6.2.3.1.3.2.2

Addiere $3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}$ und $0$ .

$y = \frac{C + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

Schritt 6.2.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.2.3.2.1

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{C \cdot \frac{2}{2} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

Schritt 6.2.3.2.2

Kombiniere $C$ und $\frac{2}{2}$ .

$y = \frac{\frac{C \cdot 2}{2} + \frac{3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

Schritt 6.2.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{\frac{C \cdot 2 + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

Schritt 6.2.3.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$y = \frac{\frac{2 C + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}}{x}$

Schritt 6.2.3.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y = \frac{2 C + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.2.3.4

Mutltipliziere $\frac{2 C + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$y = \frac{2 C + 3 x^{2} e^{\frac{2 x}{3}}}{2 x}$