Analysis Beispiele

$y \frac{d y}{d x} = x^{2} - 2 x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = (x^{2} - 2 x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int x^{2} - 2 x d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} - 2 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int - 2 x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int - 2 x d x$

Schritt 2.3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 \int x d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{- 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{- 1}{1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} - x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = - x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} = 2 (- x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + K)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (- x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y^{2} = 2 (- x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + K)$

Schritt 3.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} = 2 (- x^{2}) + 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} = - 2 x^{2} + 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y^{2} = - 2 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{- 2 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$

Schritt 3.4

Vereinfache $\pm \sqrt{- 2 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$ .

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Schritt 3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K$ heraus.

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Schritt 3.4.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x^{2}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + \frac{2 x^{3}}{3} + 2 K}$

Schritt 3.4.1.2

Faktorisiere $2$ aus $\frac{2 x^{3}}{3}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Schritt 3.4.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2}) + 2 \frac{x^{3}}{3} + 2 K}$

Schritt 3.4.1.4

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{2}) + 2 \frac{x^{3}}{3}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2} + \frac{x^{3}}{3}) + 2 K}$

Schritt 3.4.1.5

Faktorisiere $2$ aus $2 (- x^{2} + \frac{x^{3}}{3}) + 2 K$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + K)}$

Schritt 3.4.2

Um $- x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (- x^{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{x^{3}}{3} + K)}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.3.1

Kombiniere $- x^{2}$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{- x^{2} \cdot 3}{3} + \frac{x^{3}}{3} + K)}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{- x^{2} \cdot 3 + x^{3}}{3} + K)}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.4.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2} \cdot 3 + x^{3}$ heraus.

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Schritt 3.4.4.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2} \cdot 3$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{2} (- 1 \cdot 3) + x^{3}}{3} + K)}$

Schritt 3.4.4.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{3}$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{2} (- 1 \cdot 3) + x^{2} x}{3} + K)}$

Schritt 3.4.4.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (- 1 \cdot 3) + x^{2} x$ heraus.

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{2} (- 1 \cdot 3 + x)}{3} + K)}$

Schritt 3.4.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{2} (- 3 + x)}{3} + K)}$

Schritt 3.4.5

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{2} (- 3 + x)}{3} + K \cdot \frac{3}{3})}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.4.6.1

Kombiniere $K$ und $\frac{3}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{x^{2} (- 3 + x)}{3} + \frac{K \cdot 3}{3})}$

Schritt 3.4.6.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{2} (- 3 + x) + K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} x + K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.7.2

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 3 \cdot x^{2} + x^{2} x + K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.7.3

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.7.3.1

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 3.4.7.3.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 3 \cdot x^{2} + x^{2} x^{1} + K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.7.3.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 3 \cdot x^{2} + x^{2 + 1} + K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.7.3.2

Addiere $2$ und $1$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 3 \cdot x^{2} + x^{3} + K \cdot 3}{3}}$

Schritt 3.4.7.4

Bringe $3$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K}{3}}$

Schritt 3.4.8

Kombiniere $2$ und $\frac{- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K}{3}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}{3}}$

Schritt 3.4.9

Schreibe $\sqrt{\frac{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}{3}}$ als $\frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.4.10

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Schritt 3.4.11

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.4.11.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{\sqrt{3}}$ mit $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Schritt 3.4.11.2

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Schritt 3.4.11.3

Potenziere $\sqrt{3}$ mit $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Schritt 3.4.11.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Schritt 3.4.11.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Schritt 3.4.11.6

Schreibe ${\sqrt{3}}^{2}$ als $3$ um.

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Schritt 3.4.11.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3}$ als $3^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 3.4.11.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 3.4.11.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.11.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.11.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 3.4.11.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3^{1}}$

Schritt 3.4.11.6.5

Berechne den Exponenten.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)} \sqrt{3}}{3}$

Schritt 3.4.12

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.12.1

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K) \cdot 3}}{3}$

Schritt 3.4.12.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

Schritt 3.5

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.5.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

Schritt 3.5.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

Schritt 3.5.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + 3 K)}}{3}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + K)}}{3}$

$y = - \frac{\sqrt{6 (- 3 x^{2} + x^{3} + K)}}{3}$