Analysis Beispiele

$\frac{d p}{d x} = \sqrt[23]{\frac{P}{x}}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d p = \sqrt[23]{\frac{P}{x}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d p = \int \sqrt[23]{\frac{P}{x}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$p + C_{1} = \int \sqrt[23]{\frac{P}{x}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $\sqrt[23]{\frac{P}{x}}$ als $\frac{\sqrt[23]{P}}{\sqrt[23]{x}}$ um.

$p + C_{1} = \int \frac{\sqrt[23]{P}}{\sqrt[23]{x}} d x$

Schritt 2.3.2

Da $\sqrt[23]{P}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\sqrt[23]{P}$ aus dem Integral.

$p + C_{1} = \sqrt[23]{P} \int \frac{1}{\sqrt[23]{x}} d x$

Schritt 2.3.3

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[23]{x}$ als $x^{\frac{1}{23}}$ neu zu schreiben.

$p + C_{1} = \sqrt[23]{P} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{23}}} d x$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $x^{\frac{1}{23}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$p + C_{1} = \sqrt[23]{P} \int {(x^{\frac{1}{23}})}^{- 1} d x$

Schritt 2.3.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{23}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$p + C_{1} = \sqrt[23]{P} \int x^{\frac{1}{23} \cdot - 1} d x$

Schritt 2.3.3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{23}$ und $- 1$ .

$p + C_{1} = \sqrt[23]{P} \int x^{\frac{- 1}{23}} d x$

Schritt 2.3.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$p + C_{1} = \sqrt[23]{P} \int x^{- \frac{1}{23}} d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{23}}$ nach $x$ gleich $\frac{23}{22} x^{\frac{22}{23}}$ .

$p + C_{1} = \sqrt[23]{P} (\frac{23}{22} x^{\frac{22}{23}} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.5.1

Schreibe $\sqrt[23]{P} (\frac{23}{22} x^{\frac{22}{23}} + C_{2})$ als $\sqrt[23]{P} \frac{23}{22} x^{\frac{22}{23}} + C_{2}$ um.

$p + C_{1} = \sqrt[23]{P} \frac{23}{22} x^{\frac{22}{23}} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Kombiniere $\sqrt[23]{P}$ und $\frac{23}{22}$ .

$p + C_{1} = \frac{\sqrt[23]{P} \cdot 23}{22} x^{\frac{22}{23}} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2

Bringe $23$ auf die linke Seite von $\sqrt[23]{P}$ .

$p + C_{1} = \frac{23 \cdot \sqrt[23]{P}}{22} x^{\frac{22}{23}} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.3

Kombiniere $\frac{23 \sqrt[23]{P}}{22}$ und $x^{\frac{22}{23}}$ .

$p + C_{1} = \frac{23 \sqrt[23]{P} x^{\frac{22}{23}}}{22} + C_{2}$

$p + C_{1} = \frac{23}{22} \sqrt[23]{P} x^{\frac{22}{23}} + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$p + C_{1} = \frac{23}{22} x^{\frac{22}{23}} \sqrt[23]{P} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$p = \frac{23}{22} x^{\frac{22}{23}} \sqrt[23]{P} + K$