Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y^{2} + 1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x^{2} - 1}{y^{2} + 1}$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{x^{2} - 1^{2}}{y^{2} + 1}$

Schritt 1.2.1.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{y^{2} + 1}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 1$ .

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Schritt 1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (y^{2} + 1) \frac{(x + 1) (x - 1)}{y^{2} + 1}$

Schritt 1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = (x + 1) (x - 1)$

Schritt 1.2.3

Multipliziere $(x + 1) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 1.2.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x (x - 1) + 1 (x - 1)$

Schritt 1.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)$

Schritt 1.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Schritt 1.2.4

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 1.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1$

Schritt 1.2.4.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Schritt 1.2.4.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1$

Schritt 1.2.4.1.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1$

Schritt 1.2.4.1.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - x + x - 1$

Schritt 1.2.4.2

Addiere $- x$ und $x$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} + 0 - 1$

Schritt 1.2.4.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$(y^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x^{2} - 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(y^{2} + 1) d y = (x^{2} - 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y^{2} + 1 d y = \int x^{2} - 1 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y^{2} d y + \int d y = \int x^{2} - 1 d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + \int d y = \int x^{2} - 1 d x$

Schritt 2.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} + y + C_{2} = \int x^{2} - 1 d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} - 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int x^{2} d x + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} + \int - 1 d x$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{4} - x + C_{5}$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \frac{1}{3} x^{3} - x + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{3} y^{3} + y = \frac{1}{3} x^{3} - x + K$