Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 4 x^{3} y^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $3 x^{2} y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = 4 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $x^{2} y^{2}$ aus $4 x^{3} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $x^{2} y^{2}$ aus $4 x^{3} y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{2} (4 x) - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $x^{2} y^{2}$ aus $- 3 x^{2} y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{2} (4 x) + x^{2} y^{2} (- 3)$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $x^{2} y^{2}$ aus $x^{2} y^{2} (4 x) + x^{2} y^{2} (- 3)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = x^{2} y^{2} (4 x - 3)$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (x^{2} y^{2} (4 x - 3))$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.4.1.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x^{2} y^{2} (4 x - 3)$ heraus.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (x^{2} (4 x - 3)))$

Schritt 1.4.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} (y^{2} (x^{2} (4 x - 3)))$

Schritt 1.4.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2} (4 x - 3)$

Schritt 1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = x^{2} (4 x) + x^{2} \cdot - 3$

Schritt 1.4.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} x + x^{2} \cdot - 3$

Schritt 1.4.4

Bringe $- 3$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{2} x - 3 \cdot x^{2}$

Schritt 1.4.5

Multipliziere $x^{2}$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 1.4.5.1

Bewege $x$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 (x \cdot x^{2}) - 3 \cdot x^{2}$

Schritt 1.4.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 1.4.5.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 (x^{1} x^{2}) - 3 \cdot x^{2}$

Schritt 1.4.5.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{1 + 2} - 3 \cdot x^{2}$

Schritt 1.4.5.3

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 \cdot x^{2}$

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = 4 x^{3} - 3 x^{2}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2}} d y = (4 x^{3} - 3 x^{2}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Schritt 2.2.3

Schreibe $- y^{- 1} + C_{1}$ als $- \frac{1}{y} + C_{1}$ um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 4 x^{3} - 3 x^{2} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int 4 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x$

Schritt 2.3.2

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{3}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 3$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 4 (\frac{1}{4}) x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4}{4} x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 2.3.6.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \frac{4}{4} x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.3

Mutltipliziere $x^{4}$ mit $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} - 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.4

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{- 3}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.5

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 3$ und $3$ .

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Schritt 2.3.6.2.5.1

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.5.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.2.5.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 (1)} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{3 \cdot - 1}{3 \cdot 1} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} + \frac{- 1}{1} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.5.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = x^{4} - x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$- \frac{1}{y} = x^{4} - x^{3} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y, 1, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = x^{4} - x^{3} + K$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{1}{y} = x^{4} - x^{3} + K$ mit $y$ .

$- \frac{1}{y} y = x^{4} y - x^{3} y + K y$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{y}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{y} y = x^{4} y - x^{3} y + K y$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{y} y = x^{4} y - x^{3} y + K y$

Schritt 3.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 = x^{4} y - x^{3} y + K y$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $x^{4} y - x^{3} y + K y = - 1$ um.

$x^{4} y - x^{3} y + K y = - 1$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y$ aus $x^{4} y - x^{3} y + K y$ heraus.

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Schritt 3.3.2.1

Faktorisiere $y$ aus $x^{4} y$ heraus.

$y x^{4} - x^{3} y + K y = - 1$

Schritt 3.3.2.2

Faktorisiere $y$ aus $- x^{3} y$ heraus.

$y x^{4} + y (- x^{3}) + K y = - 1$

Schritt 3.3.2.3

Faktorisiere $y$ aus $K y$ heraus.

$y x^{4} + y (- x^{3}) + y K = - 1$

Schritt 3.3.2.4

Faktorisiere $y$ aus $y x^{4} + y (- x^{3})$ heraus.

$y (x^{4} - x^{3}) + y K = - 1$

Schritt 3.3.2.5

Faktorisiere $y$ aus $y (x^{4} - x^{3}) + y K$ heraus.

$y (x^{4} - x^{3} + K) = - 1$

Schritt 3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $y (x^{4} - x^{3} + K) = - 1$ durch $x^{4} - x^{3} + K$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x^{4} - x^{3} + K) = - 1$ durch $x^{4} - x^{3} + K$ .

$\frac{y (x^{4} - x^{3} + K)}{x^{4} - x^{3} + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x^{3} + K}$

Schritt 3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{4} - x^{3} + K$ .

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Schritt 3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x^{4} - x^{3} + K)}{x^{4} - x^{3} + K} = \frac{- 1}{x^{4} - x^{3} + K}$

Schritt 3.3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{- 1}{x^{4} - x^{3} + K}$

Schritt 3.3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{1}{x^{4} - x^{3} + K}$