Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + x e^{- \frac{x^{2}}{2}} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d y}{d x} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 1.2

Schreibe die Gleichung um.

$d y = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = - \int x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ . Dann ist $d u_{2} = - x e^{- \frac{x^{2}}{2}} d x$ , folglich $\frac{1}{- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u_{2} = e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{- \frac{x^{2}}{2}}]$

Schritt 2.3.2.1.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = e^{x}$ und $g (x) = - \frac{x^{2}}{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 2.3.2.1.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 2.3.2.1.2.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $- \frac{x^{2}}{2}$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} \frac{d}{d x} [- \frac{x^{2}}{2}]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere.

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Da $- \frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- \frac{x^{2}}{2}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$e^{- \frac{x^{2}}{2}} (- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Kombiniere $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ und $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$- \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} (2 x)$

Schritt 2.3.2.1.3.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 2.3.2.1.3.4.1

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$- 2 \frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Schritt 2.3.2.1.3.4.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2} x$

Schritt 2.3.2.1.3.4.3

Kombiniere $\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}}}{2}$ und $x$ .

$\frac{- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{2}$

Schritt 2.3.2.1.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.4.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ heraus.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2}$

Schritt 2.3.2.1.3.4.4.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1.3.4.4.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 (1)}$

Schritt 2.3.2.1.3.4.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x)}{2 \cdot 1}$

Schritt 2.3.2.1.3.4.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x}{1}$

Schritt 2.3.2.1.3.4.4.2.4

Dividiere $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ durch $1$ .

$- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$

Schritt 2.3.2.1.3.4.5

Stelle die Faktoren in $- e^{- \frac{x^{2}}{2}} x$ um.

$- x e^{- \frac{x^{2}}{2}}$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$y + C_{1} = - \int - 1 d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = - (- u_{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.4.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = - - u_{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = 1 u_{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2

Mutltipliziere $u_{2}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = u_{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.3

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{- \frac{x^{2}}{2}}$ .

$y + C_{1} = e^{- \frac{x^{2}}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.4

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = e^{- \frac{1}{2} x^{2}} + K$