Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = y^{9}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Bernoulli-Technik entspricht.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = y^{9}$

Schritt 1.2

Stelle $y$ und $\frac{1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{9}$

Schritt 2

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{9}$ ist.

$v = y^{- 8}$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{- \frac{1}{8}}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{8}}$

Schritt 5

Nimm die Ableitung von $v^{- \frac{1}{8}}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 5.1

Nimm die Ableitung von $v^{- \frac{1}{8}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{8}}]$

Schritt 5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{8}}}]$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v^{\frac{1}{8}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{{(v^{\frac{1}{8}})}^{2}}$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{{(v^{\frac{1}{8}})}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{\frac{1}{8}})}^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{8} \cdot 2}}$

Schritt 5.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{2 (4)} \cdot 2}}$

Schritt 5.4.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{2 \cdot 4} \cdot 2}}$

Schritt 5.4.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 5.4.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{8}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 5.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.4.1

Mutltipliziere $v^{\frac{1}{8}}$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 5.4.4.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 5.4.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{8}}]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 5.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{8}}$ und $g (x) = v$ .

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Schritt 5.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{8}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 5.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} u^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 5.5.3

Ersetze alle $u$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 5.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} - 1 \cdot \frac{8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 5.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{8}{8}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1}{8} + \frac{- 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 5.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1 - 1 \cdot 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 5.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{1 - 8}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 5.9.2

Subtrahiere $8$ von $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{\frac{- 7}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 5.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{1}{8} v^{- \frac{7}{8}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 5.11

Kombiniere $\frac{1}{8}$ und $v^{- \frac{7}{8}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{7}{8}}}{8} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 5.12

Bringe $v^{- \frac{7}{8}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 5.13

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}} v'}{v^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 5.14

Kombiniere $\frac{1}{8 v^{\frac{7}{8}}}$ und $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}}{v^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 5.15

Schreibe $\frac{\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}}{v^{\frac{1}{4}}}$ als ein Produkt um.

$y' = - (\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{1}{4}}})$

Schritt 5.16

Mutltipliziere $\frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}}}$ mit $\frac{1}{v^{\frac{1}{4}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{7}{8}} v^{\frac{1}{4}}}$

Schritt 5.17

Multipliziere $v^{\frac{7}{8}}$ mit $v^{\frac{1}{4}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.17.1

Bewege $v^{\frac{1}{4}}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 (v^{\frac{1}{4}} v^{\frac{7}{8}})}$

Schritt 5.17.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{1}{4} + \frac{7}{8}}}$

Schritt 5.17.3

Um $\frac{1}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{8}}}$

Schritt 5.17.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 5.17.4.1

Mutltipliziere $\frac{1}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2}{4 \cdot 2} + \frac{7}{8}}}$

Schritt 5.17.4.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2}{8} + \frac{7}{8}}}$

Schritt 5.17.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{2 + 7}{8}}}$

Schritt 5.17.6

Addiere $2$ und $7$ .

$y' = - \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}}$

Schritt 6

Setze $- \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}}$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{- \frac{1}{8}}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = y^{9}$ ein.

$- \frac{v'}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$

Schritt 7

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 7.1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ um.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ mit $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 7.1.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ mit $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Schritt 7.1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8 v^{\frac{9}{8}}$ .

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Schritt 7.1.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.1.2

Faktorisiere $8 v^{\frac{9}{8}}$ aus $- (8 v^{\frac{9}{8}})$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (8 v^{\frac{9}{8}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{8 v^{\frac{9}{8}}} (8 v^{\frac{9}{8}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} (- (8 v^{\frac{9}{8}})) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{8}} v^{\frac{9}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.5

Multipliziere $v^{- \frac{1}{8}}$ mit $v^{\frac{9}{8}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.1.2.1.5.1

Bewege $v^{\frac{9}{8}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} (v^{\frac{9}{8}} v^{- \frac{1}{8}}) = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{9}{8} - \frac{1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{9 - 1}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.5.4

Subtrahiere $1$ von $9$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{\frac{8}{8}} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.5.5

Dividiere $8$ durch $8$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{1} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.6

Vereinfache $- 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 8 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{d v}{d x} - 8 \frac{1}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.8

Kombiniere $- 8$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 8}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8}{x} v = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.10

Kombiniere $v$ und $\frac{8}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 8}{x} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.11

Bringe $8$ auf die linke Seite von $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} (- (8 v^{\frac{9}{8}}))$

Schritt 7.1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 1 \cdot 8 {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} v^{\frac{9}{8}}$

Schritt 7.1.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 {(v^{- \frac{1}{8}})}^{9} v^{\frac{9}{8}}$

Schritt 7.1.1.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- \frac{1}{8}})}^{9}$ .

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Schritt 7.1.1.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- \frac{1}{8} \cdot 9} v^{\frac{9}{8}}$

Schritt 7.1.1.3.3.2

Multipliziere $- \frac{1}{8} \cdot 9$ .

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Schritt 7.1.1.3.3.2.1

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- 9 (\frac{1}{8})} v^{\frac{9}{8}}$

Schritt 7.1.1.3.3.2.2

Kombiniere $- 9$ und $\frac{1}{8}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{- 9}{8}} v^{\frac{9}{8}}$

Schritt 7.1.1.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{- \frac{9}{8}} v^{\frac{9}{8}}$

Schritt 7.1.1.3.4

Multipliziere $v^{- \frac{9}{8}}$ mit $v^{\frac{9}{8}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.1.3.4.1

Bewege $v^{\frac{9}{8}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 (v^{\frac{9}{8}} v^{- \frac{9}{8}})$

Schritt 7.1.1.3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{9}{8} - \frac{9}{8}}$

Schritt 7.1.1.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{9 - 9}{8}}$

Schritt 7.1.1.3.4.4

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{\frac{0}{8}}$

Schritt 7.1.1.3.4.5

Dividiere $0$ durch $8$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8 v^{0}$

Schritt 7.1.1.3.5

Vereinfache $- 8 v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{8 v}{x} = - 8$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $v$ aus $- \frac{8 v}{x}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{8}{x}) = - 8$

Schritt 7.1.3

Stelle $v$ und $- \frac{8}{x}$ um.

$\frac{d v}{d x} - \frac{8}{x} v = - 8$

Schritt 7.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{8}{x}$ gilt.

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Schritt 7.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{8}{x} d x}$

Schritt 7.2.2

Integriere $- \frac{8}{x}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{8}{x} d x}$

Schritt 7.2.2.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$e^{- (8 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 7.2.2.3

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$e^{- 8 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 7.2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- 8 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 7.2.2.5

Vereinfache.

$e^{- 8 \ln (| x |) + C}$

Schritt 7.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 8 \ln (x)}$

Schritt 7.2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 8})}$

Schritt 7.2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 8}$

Schritt 7.2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{8}}$

Schritt 7.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{8}}$ .

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Schritt 7.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{1}{x^{8}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{8}} (- \frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{8}}$ und $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} + \frac{1}{x^{8}} (- \frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Schritt 7.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{1}{x^{8}} (\frac{8}{x} v) = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Schritt 7.3.2.3

Kombiniere $\frac{8}{x}$ und $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{1}{x^{8}} \cdot \frac{8 v}{x} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Schritt 7.3.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{x^{8}} \cdot \frac{8 v}{x}$ .

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Schritt 7.3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{8 v}{x}$ mit $\frac{1}{x^{8}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x \cdot x^{8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Schritt 7.3.2.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{8}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.2.4.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{8}$ .

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Schritt 7.3.2.4.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{1} x^{8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Schritt 7.3.2.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{1 + 8}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Schritt 7.3.2.4.2.2

Addiere $1$ und $8$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = \frac{1}{x^{8}} \cdot - 8$

Schritt 7.3.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{8}}$ und $- 8$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = \frac{- 8}{x^{8}}$

Schritt 7.3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{8}} - \frac{8 v}{x^{9}} = - \frac{8}{x^{8}}$

Schritt 7.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}} v] = - \frac{8}{x^{8}}$

Schritt 7.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{8}} v] d x = \int - \frac{8}{x^{8}} d x$

Schritt 7.6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x^{8}} v = \int - \frac{8}{x^{8}} d x$

Schritt 7.7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x^{8}} v = - \int \frac{8}{x^{8}} d x$

Schritt 7.7.2

Da $8$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $8$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x^{8}} v = - (8 \int \frac{1}{x^{8}} d x)$

Schritt 7.7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.7.3.1

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int \frac{1}{x^{8}} d x$

Schritt 7.7.3.2

Bringe $x^{8}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int {(x^{8})}^{- 1} d x$

Schritt 7.7.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{8})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.7.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int x^{8 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.7.3.3.2

Mutltipliziere $8$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 \int x^{- 8} d x$

Schritt 7.7.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 8}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{7} x^{- 7}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7} x^{- 7} + C)$

Schritt 7.7.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.7.5.1

Vereinfache.

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Schritt 7.7.5.1.1

Kombiniere $x^{- 7}$ und $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{x^{- 7}}{7} + C)$

Schritt 7.7.5.1.2

Bringe $x^{- 7}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7 x^{7}} + C)$

Schritt 7.7.5.2

Vereinfache.

$\frac{1}{x^{8}} v = - 8 (- \frac{1}{7 x^{7}}) + C$

Schritt 7.7.5.3

Vereinfache.

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Schritt 7.7.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 8$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = 8 \frac{1}{7 x^{7}} + C$

Schritt 7.7.5.3.2

Kombiniere $8$ und $\frac{1}{7 x^{7}}$ .

$\frac{1}{x^{8}} v = \frac{8}{7 x^{7}} + C$

Schritt 7.8

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 7.8.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.8.1.1

Subtrahiere $\frac{8}{7 x^{7}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{8}} v - \frac{8}{7 x^{7}} = C$

Schritt 7.8.1.2

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{8}} v - \frac{8}{7 x^{7}} - C = 0$

Schritt 7.8.1.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{8}}$ und $v$ .

$\frac{v}{x^{8}} - \frac{8}{7 x^{7}} - C = 0$

Schritt 7.8.2

Bringe alle Terme, die nicht $v$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.8.2.1

Addiere $\frac{8}{7 x^{7}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{v}{x^{8}} - C = \frac{8}{7 x^{7}}$

Schritt 7.8.2.2

Addiere $C$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{v}{x^{8}} = \frac{8}{7 x^{7}} + C$

Schritt 7.8.3

Multipliziere beide Seiten mit $x^{8}$ .

$\frac{v}{x^{8}} x^{8} = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

Schritt 7.8.4

Vereinfache.

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Schritt 7.8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{8}$ .

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Schritt 7.8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v}{x^{8}} x^{8} = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

Schritt 7.8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$v = (\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$

Schritt 7.8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.8.4.2.1

Vereinfache $(\frac{8}{7 x^{7}} + C) x^{8}$ .

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Schritt 7.8.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = \frac{8}{7 x^{7}} x^{8} + C x^{8}$

Schritt 7.8.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{7}$ .

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Schritt 7.8.4.2.1.2.1

Faktorisiere $x^{7}$ aus $7 x^{7}$ heraus.

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} x^{8} + C x^{8}$

Schritt 7.8.4.2.1.2.2

Faktorisiere $x^{7}$ aus $x^{8}$ heraus.

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} (x^{7} x) + C x^{8}$

Schritt 7.8.4.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \frac{8}{x^{7} \cdot 7} (x^{7} x) + C x^{8}$

Schritt 7.8.4.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$v = \frac{8}{7} x + C x^{8}$

Schritt 7.8.4.2.1.3

Kombiniere $\frac{8}{7}$ und $x$ .

$v = \frac{8 x}{7} + C x^{8}$

Schritt 7.8.4.2.1.4

Stelle $\frac{8 x}{7}$ und $C x^{8}$ um.

$v = C x^{8} + \frac{8 x}{7}$

Schritt 8

Ersetze $v$ durch $y^{- 8}$ .

$y^{- 8} = C x^{8} + \frac{8 x}{7}$