Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 9 x y^{\frac{1}{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} (9 x y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = 9 \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} (x y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{9}{y^{\frac{1}{2}}} (x y^{\frac{1}{2}})$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $y^{\frac{1}{2}}$ aus $x y^{\frac{1}{2}}$ heraus.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{9}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x)$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = \frac{9}{y^{\frac{1}{2}}} (y^{\frac{1}{2}} x)$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} = 9 x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = 9 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int 9 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Bringe $y^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int 9 x d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int 9 x d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\int y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int 9 x d x$

Schritt 2.2.1.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\int y^{- \frac{1}{2}} d y = \int 9 x d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- \frac{1}{2}}$ nach $y$ gleich $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 9 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $9$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $9$ aus dem Integral.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 9 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 9 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $9 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ als $9 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ um.

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 9 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Kombiniere $9$ und $\frac{1}{2}$ .

$2 y^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{9}{2} x^{2} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{2} x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{2} x^{2} + K$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{9}{2} x^{2} + K$ durch $2$ .

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{9}{2} x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{\frac{9}{2} x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.2.2

Dividiere $y^{\frac{1}{2}}$ durch $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9}{2} x^{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.1.3.1.1

Kombiniere $\frac{9}{2}$ und $x^{2}$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{\frac{9 x^{2}}{2}}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3.1.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{9 x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3.1.3

Kombinieren.

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{9 x^{2} \cdot 1}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3.1.4

Mutltipliziere $9$ mit $1$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{9 x^{2}}{2 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.1.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y^{\frac{1}{2}} = \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2}$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $2$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache den Exponenten.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = {(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.1.1.2

Vereinfache.

$y = {(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Schreibe ${(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})}^{2}$ als $(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$ um.

$y = (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.2

Multipliziere $(\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{9 x^{2}}{4} (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2}) + \frac{K}{2} (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} (\frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2})$

Schritt 3.3.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.2.1.3.1.1

Kombinieren.

$y = \frac{9 x^{2} (9 x^{2})}{4 \cdot 4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.2.1.3.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = \frac{9 (x^{2} x^{2}) \cdot 9}{4 \cdot 4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{9 x^{2 + 2} \cdot 9}{4 \cdot 4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$y = \frac{9 x^{4} \cdot 9}{4 \cdot 4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.3

Mutltipliziere $9$ mit $9$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{4 \cdot 4} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2}}{4} \cdot \frac{K}{2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.5

Kombinieren.

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{4 \cdot 2} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{9 x^{2}}{4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.7

Kombinieren.

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{K (9 x^{2})}{2 \cdot 4} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.8

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{K \cdot 9 x^{2}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.9

Bringe $9$ auf die linke Seite von $K$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 \cdot K x^{2}}{8} + \frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.10

Multipliziere $\frac{K}{2} \cdot \frac{K}{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.1.10.1

Mutltipliziere $\frac{K}{2}$ mit $\frac{K}{2}$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K \cdot K}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.10.2

Potenziere $K$ mit $1$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{1} K}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.10.3

Potenziere $K$ mit $1$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{1} K^{1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.10.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{1 + 1}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.10.5

Addiere $1$ und $1$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.2.1.3.1.10.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 x^{2} K}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.3.2

Addiere $\frac{9 x^{2} K}{8}$ und $\frac{9 K x^{2}}{8}$ .

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Schritt 3.3.2.1.3.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.3.2.2

Addiere $\frac{9 K x^{2}}{8}$ und $\frac{9 K x^{2}}{8}$ .

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + 2 \frac{9 K x^{2}}{8} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.4.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + 2 \frac{9 K x^{2}}{2 (4)} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + 2 \frac{9 K x^{2}}{2 \cdot 4} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 3.3.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{9 K x^{2}}{4} + \frac{K^{2}}{4}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{81 x^{4}}{16} + \frac{K x^{2}}{4} + K$