Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = {(3 x + 2)}^{3}$ , $y (0) = 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = {(3 x + 2)}^{3} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int {(3 x + 2)}^{3} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u = 3 x + 2$ . Dann ist $d u = 3 d x$ , folglich $\frac{1}{3} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u = 3 x + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $3 x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [3 x + 2]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x + 2$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.1.1.3

Berechne $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Schritt 2.3.1.1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.1.1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.1.1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3 + \frac{d}{d x} [2]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.1.1.4.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$3 + 0$

Schritt 2.3.1.1.4.2

Addiere $3$ und $0$ .

$3$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \int u^{3} \frac{1}{3} d u$

Schritt 2.3.2

Kombiniere $u^{3}$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \int \frac{u^{3}}{3} d u$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \int u^{3} d u$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{3}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Schreibe $\frac{1}{3} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ als $\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{3}$ mit $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{3 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} u^{4} + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $3 x + 2$ .

$y + C_{1} = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $1$ für $y$ in $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ ersetzt wird.

$1 = \frac{1}{12} {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$ um.

$\frac{1}{12} \cdot {(3 \cdot 0 + 2)}^{4} + K = 1$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$\frac{1}{12} \cdot {(0 + 2)}^{4} + K = 1$

Schritt 4.2.2

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{1}{12} \cdot 2^{4} + K = 1$

Schritt 4.2.3

Potenziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{12} \cdot 16 + K = 1$

Schritt 4.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 4.2.4.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$\frac{1}{4 (3)} \cdot 16 + K = 1$

Schritt 4.2.4.2

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

Schritt 4.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) + K = 1$

Schritt 4.2.4.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{3} \cdot 4 + K = 1$

Schritt 4.2.5

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $4$ .

$\frac{4}{3} + K = 1$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $\frac{4}{3}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 1 - \frac{4}{3}$

Schritt 4.3.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 4.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$K = \frac{3 - 4}{3}$

Schritt 4.3.4

Subtrahiere $4$ von $3$ .

$K = \frac{- 1}{3}$

Schritt 4.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$K = - \frac{1}{3}$

Schritt 5

Setze $- \frac{1}{3}$ für $K$ in $y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- \frac{1}{3}$ .

$y = \frac{1}{12} {(3 x + 2)}^{4} - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1

Wende den binomischen Lehrsatz an.

$y = \frac{1}{12} ({(3 x)}^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.2.1

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$y = \frac{1}{12} (3^{4} x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.2

Potenziere $3$ mit $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 {(3 x)}^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.3

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (3^{3} x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.4

Potenziere $3$ mit $3$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 4 (27 x^{3}) \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.5

Mutltipliziere $27$ mit $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 108 x^{3} \cdot 2 + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $108$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 {(3 x)}^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.7

Wende die Produktregel auf $3 x$ an.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (3^{2} x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.8

Potenziere $3$ mit $2$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 6 (9 x^{2}) \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.9

Mutltipliziere $9$ mit $6$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 2^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.10

Potenziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 54 x^{2} \cdot 4 + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.11

Mutltipliziere $4$ mit $54$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 4 (3 x) \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.12

Mutltipliziere $3$ mit $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 2^{3} + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.13

Potenziere $2$ mit $3$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 12 x \cdot 8 + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.14

Mutltipliziere $8$ mit $12$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 2^{4}) - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.2.15

Potenziere $2$ mit $4$ .

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4} + 216 x^{3} + 216 x^{2} + 96 x + 16) - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{1}{12} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache.

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{1}{3 (4)} (81 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.4.1.2

Faktorisiere $3$ aus $81 x^{4}$ heraus.

$y = \frac{1}{3 (4)} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.4.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{1}{3 \cdot 4} (3 (27 x^{4})) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.4.1.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{1}{4} (27 x^{4}) + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.4.2

Kombiniere $27$ und $\frac{1}{4}$ .

$y = \frac{27}{4} x^{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.4.3

Kombiniere $\frac{27}{4}$ und $x^{4}$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (216 x^{3}) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 5.2.4.4.1

Faktorisiere $12$ aus $216 x^{3}$ heraus.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.4.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{3})) + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.4.4.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (216 x^{2}) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.4.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 5.2.4.5.1

Faktorisiere $12$ aus $216 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.4.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + \frac{1}{12} (12 (18 x^{2})) + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.4.5.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (96 x) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.4.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $12$ .

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Schritt 5.2.4.6.1

Faktorisiere $12$ aus $96 x$ heraus.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.4.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + \frac{1}{12} (12 (8 x)) + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.4.6.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{12} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.4.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.4.7.1

Faktorisiere $4$ aus $12$ heraus.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 (3)} \cdot 16 - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.4.7.2

Faktorisiere $4$ aus $16$ heraus.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.4.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{4 \cdot 3} \cdot (4 \cdot 4) - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.4.7.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{1}{3} \cdot 4 - \frac{1}{3}$

Schritt 5.2.4.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $4$ .

$y = \frac{27 x^{4}}{4} + 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{4}{3} - \frac{1}{3}$

Schritt 5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{4 - 1}{3}$

Schritt 5.4

Subtrahiere $1$ von $4$ .

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + \frac{3}{3}$

Schritt 5.5

Dividiere $3$ durch $3$ .

$y = 18 x^{3} + 18 x^{2} + 8 x + \frac{27 x^{4}}{4} + 1$