Analysis Beispiele

$x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Schritt 1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 1.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d y}{d x} = y + x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Schritt 1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Schritt 1.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Schritt 1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{x \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})}{x}$

Schritt 1.3.1.1.2

Dividiere $\sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Schritt 1.3.1.2

Schreibe $\tan (\frac{y}{x})$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.1.3

Multipliziere $\sin (\frac{y}{x}) \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ .

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Schritt 1.3.1.3.1

Kombiniere $\sin (\frac{y}{x})$ und $\frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.1.3.2

Potenziere $\sin (\frac{y}{x})$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{1} (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.1.3.3

Potenziere $\sin (\frac{y}{x})$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{1} (\frac{y}{x}) \sin^{1} (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.1.3.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{{\sin (\frac{y}{x})}^{1 + 1}}{\cos (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.1.3.5

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin^{2} (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.3.2.1

Faktorisiere $\sin (\frac{y}{x})$ aus $\sin^{2} (\frac{y}{x})$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x}) \sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.2.2

Separiere Brüche.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x})}{1} \cdot \frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$

Schritt 1.3.2.3

Wandle von $\frac{\sin (\frac{y}{x})}{\cos (\frac{y}{x})}$ nach $\tan (\frac{y}{x})$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \frac{\sin (\frac{y}{x})}{1} \tan (\frac{y}{x})$

Schritt 1.3.2.4

Dividiere $\sin (\frac{y}{x})$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} + \sin (\frac{y}{x}) \tan (\frac{y}{x})$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = V + \sin (V) \tan (V)$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \tan (V)$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.1.1

Vereinfache $V + \sin (V) \tan (V)$ .

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Schritt 6.1.1.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.1.1.1

Schreibe $\tan (V)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Schritt 6.1.1.1.1.1.2

Multipliziere $\sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

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Schritt 6.1.1.1.1.1.2.1

Kombiniere $\sin (V)$ und $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Schritt 6.1.1.1.1.1.2.2

Potenziere $\sin (V)$ mit $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{1} (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Schritt 6.1.1.1.1.1.2.3

Potenziere $\sin (V)$ mit $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{1} (V) \sin^{1} (V)}{\cos (V)}$

Schritt 6.1.1.1.1.1.2.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{{\sin (V)}^{1 + 1}}{\cos (V)}$

Schritt 6.1.1.1.1.1.2.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin^{2} (V)}{\cos (V)}$

Schritt 6.1.1.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.1.2.1

Faktorisiere $\sin (V)$ aus $\sin^{2} (V)$ heraus.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Schritt 6.1.1.1.1.2.2

Separiere Brüche.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V)}{1} \cdot \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Schritt 6.1.1.1.1.2.3

Wandle von $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ nach $\tan (V)$ um.

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \frac{\sin (V)}{1} \tan (V)$

Schritt 6.1.1.1.1.2.4

Dividiere $\sin (V)$ durch $1$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = V + \sin (V) \tan (V)$

Schritt 6.1.1.2

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 6.1.1.2.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = V + \sin (V) \tan (V) - V$

Schritt 6.1.1.2.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $V + \sin (V) \tan (V) - V$ .

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Schritt 6.1.1.2.2.1

Subtrahiere $V$ von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V) + 0$

Schritt 6.1.1.2.2.2

Addiere $\sin (V) \tan (V)$ und $0$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$

Schritt 6.1.1.2.3

Schreibe $\tan (V)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Schritt 6.1.1.2.4

Multipliziere $\sin (V) \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

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Schritt 6.1.1.2.4.1

Kombiniere $\sin (V)$ und $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Schritt 6.1.1.2.4.2

Potenziere $\sin (V)$ mit $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{1} (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Schritt 6.1.1.2.4.3

Potenziere $\sin (V)$ mit $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{1} (V) \sin^{1} (V)}{\cos (V)}$

Schritt 6.1.1.2.4.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{{\sin (V)}^{1 + 1}}{\cos (V)}$

Schritt 6.1.1.2.4.5

Addiere $1$ und $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin^{2} (V)}{\cos (V)}$

Schritt 6.1.1.2.5

Faktorisiere $\sin (V)$ aus $\sin^{2} (V)$ heraus.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \sin (V)}{\cos (V)}$

Schritt 6.1.1.2.6

Separiere Brüche.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V)}{1} \cdot \frac{\sin (V)}{\cos (V)}$

Schritt 6.1.1.2.7

Wandle von $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ nach $\tan (V)$ um.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V)}{1} \tan (V)$

Schritt 6.1.1.2.8

Dividiere $\sin (V)$ durch $1$ .

$x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \sin (V) \tan (V)$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Schritt 6.1.2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{\sin (V) \tan (V)}$ .

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \cdot \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Schritt 6.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (V) \tan (V)$ .

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Schritt 6.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \cdot \frac{\sin (V) \tan (V)}{x}$

Schritt 6.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{\sin (V) \tan (V)} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{\sin (V) \tan (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.1.1

Separiere Brüche.

$\int \frac{1}{\tan (V)} \cdot \frac{1}{\sin (V)} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2

Wandle von $\frac{1}{\sin (V)}$ nach $\csc (V)$ um.

$\int \frac{1}{\tan (V)} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.3

Schreibe $\tan (V)$ mithilfe von Sinus und Kosinus um.

$\int \frac{1}{\frac{\sin (V)}{\cos (V)}} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.4

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{\sin (V)}{\cos (V)}$ zu dividieren.

$\int \frac{\cos (V)}{\sin (V)} \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.5

Wandle von $\frac{\cos (V)}{\sin (V)}$ nach $\cot (V)$ um.

$\int \cot (V) \csc (V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Da die Ableitung von $- \csc (V)$ gleich $\cot (V) \csc (V)$ ist, ist das Integral von $\cot (V) \csc (V)$ gleich $- \csc (V)$ .

$- \csc (V) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \csc (V) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \csc (V) = \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \csc (V) = \ln (| x |) + C$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $- \csc (V) = \ln (| x |) + C$ durch $- 1$ .

$\frac{- \csc (V)}{- 1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\csc (V)}{1} = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.3.1.2.2

Dividiere $\csc (V)$ durch $1$ .

$\csc (V) = \frac{\ln (| x |)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.3.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.3.1.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\csc (V) = - 1 \cdot \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.3.1.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \ln (| x |)$ als $- \ln (| x |)$ um.

$\csc (V) = - \ln (| x |) + \frac{C}{- 1}$

Schritt 6.3.1.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\csc (V) = - \ln (| x |) - 1 \cdot C$

Schritt 6.3.1.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\csc (V) = - \ln (| x |) - C$

Schritt 6.3.2

Wende den inversen Kosekans auf beide Seiten der Gleichung an, um $V$ aus dem Kosekans herauszuziehen.

$V = arccsc (- \ln (| x |) - C)$

Schritt 6.4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = arccsc (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = arccsc (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = arccsc (- \ln (| x |) + C)$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.2

Vereinfache.

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Schritt 8.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = arccsc (- \ln (| x |) + C) x$

Schritt 8.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.2.2.1

Stelle die Faktoren in $arccsc (- \ln (| x |) + C) x$ um.

$y = x arccsc (- \ln (| x |) + C)$