Analysis Beispiele

$2 y - (2 x - y) \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y + (- (2 x) - - y) \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$2 y + (- 2 x - - y) \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1.1.1.3

Multipliziere $- - y$ .

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Schritt 1.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$2 y + (- 2 x + 1 y) \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1.1.1.3.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$2 y + (- 2 x + y) \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1.1.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$2 y - 2 x \frac{d y}{d x} + y \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1.1.2

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 x \frac{d y}{d x} + y \frac{d y}{d x} = - 2 y$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $- 2 x \frac{d y}{d x} + y \frac{d y}{d x}$ heraus.

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Schritt 1.1.3.1

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $- 2 x \frac{d y}{d x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} (- 2 x) + y (\frac{d y}{d x}) = - 2 y$

Schritt 1.1.3.2

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $y \frac{d y}{d x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} (- 2 x) + \frac{d y}{d x} y = - 2 y$

Schritt 1.1.3.3

Faktorisiere $\frac{d y}{d x}$ aus $\frac{d y}{d x} (- 2 x) + \frac{d y}{d x} y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} (- 2 x + y) = - 2 y$

Schritt 1.1.4

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (- 2 x + y) = - 2 y$ durch $- 2 x + y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.4.1

Teile jeden Ausdruck in $\frac{d y}{d x} (- 2 x + y) = - 2 y$ durch $- 2 x + y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x} (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 2 y}{- 2 x + y}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2 x + y$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d y}{d x} (- 2 x + y)}{- 2 x + y} = \frac{- 2 y}{- 2 x + y}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 y}{- 2 x + y}$

Schritt 1.1.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{- 2 x + y}$

Schritt 1.1.4.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 2 x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{- (2 x) + y}$

Schritt 1.1.4.3.3

Faktorisiere $- 1$ aus $y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{- (2 x) - 1 (- y)}$

Schritt 1.1.4.3.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (2 x) - 1 (- y)$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{- (2 x - y)}$

Schritt 1.1.4.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 1.1.4.3.5.1

Schreibe $- (2 x - y)$ als $- 1 (2 x - y)$ um.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{- 1 (2 x - y)}$

Schritt 1.1.4.3.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = - - \frac{2 y}{2 x - y}$

Schritt 1.1.4.3.5.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d y}{d x} = 1 \frac{2 y}{2 x - y}$

Schritt 1.1.4.3.5.4

Mutltipliziere $\frac{2 y}{2 x - y}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{2 x - y}$

Schritt 1.2

Mutltipliziere $\frac{2 y}{2 x - y}$ mit $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y}{2 x - y} \cdot \frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$

Schritt 1.3

Mutltipliziere $\frac{2 y}{2 x - y}$ mit $\frac{\frac{1}{x^{1}}}{\frac{1}{x^{1}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x^{1}}}{(2 x - y) \frac{1}{x^{1}}}$

Schritt 1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x^{1}}}{2 x \frac{1}{x^{1}} - y \frac{1}{x^{1}}}$

Schritt 1.5

Vereinfache.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x^{1}}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x^{1}}}$

Schritt 1.6

Vereinfache.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x^{1}}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Schritt 1.7

Vereinfache.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 y \frac{1}{x}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Schritt 1.8

Multipliziere $2 y \frac{1}{x}$ .

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Schritt 1.8.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{2}{x}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Schritt 1.8.2

Kombiniere $y$ und $\frac{2}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y \cdot 2}{x}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Schritt 1.9

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x}}{2 x \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Schritt 1.10

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.10.1.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x}}{x \cdot 2 \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Schritt 1.10.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x}}{x \cdot 2 \frac{1}{x} - y \frac{1}{x}}$

Schritt 1.10.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x}}{2 - y \frac{1}{x}}$

Schritt 1.10.2

Kombiniere $\frac{1}{x}$ und $y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{2 y}{x}}{2 - \frac{y}{x}}$

Schritt 1.11

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{2 y}{x}$ aus.

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Schritt 1.11.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{2 y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x} \cdot 2}{2 - \frac{y}{x}}$

Schritt 1.11.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $2$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot \frac{y}{x}}{2 - \frac{y}{x}}$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \cdot V}{2 - V}$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 \cdot V}{2 - V}$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Mutltipliziere $2$ mit $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{2 V}{2 - V}$

Schritt 6.1.1.2

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{2 - V} - V$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{2 - V} - V$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{2 - V} - V$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V} - V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2

Um $- V$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2 - V}{2 - V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V} - V \cdot \frac{2 - V}{2 - V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.1.3.3.3.1

Kombiniere $- V$ und $\frac{2 - V}{2 - V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{2 V}{2 - V} + \frac{- V (2 - V)}{2 - V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{2 V - V (2 - V)}{2 - V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.3.3.4.1

Faktorisiere $V$ aus $2 V - V (2 - V)$ heraus.

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Schritt 6.1.1.3.3.4.1.1

Faktorisiere $V$ aus $2 V$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 2 - V (2 - V)}{2 - V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.1.2

Faktorisiere $V$ aus $- V (2 - V)$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot 2 + V (- (2 - V))}{2 - V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.1.3

Faktorisiere $V$ aus $V \cdot 2 + V (- (2 - V))$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 - (2 - V))}{2 - V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 - 1 \cdot 2 - - V)}{2 - V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 - 2 - - V)}{2 - V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.4

Multipliziere $- - V$ .

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Schritt 6.1.1.3.3.4.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 - 2 + 1 V)}{2 - V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.4.2

Mutltipliziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (2 - 2 + V)}{2 - V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.5

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V (0 + V)}{2 - V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.6

Addiere $0$ und $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V \cdot V}{2 - V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.3.3.5.1

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} V}{2 - V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.5.2

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1} V^{1}}{2 - V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{1 + 1}}{2 - V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.5.4

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V^{2}}{2 - V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.6

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{2 - V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.7

Mutltipliziere $\frac{V^{2}}{2 - V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{(2 - V) x}$

Schritt 6.1.1.3.3.8

Stelle die Faktoren in $\frac{V^{2}}{(2 - V) x}$ um.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{x (2 - V)}$

Schritt 6.1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V^{2}}{2 - V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{2 - V}{V^{2}}$ .

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V}{V^{2}} (\frac{V^{2}}{2 - V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{V^{2}}{2 - V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(2 - V) x}$

Schritt 6.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - V$ .

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Schritt 6.1.4.2.1

Faktorisiere $2 - V$ aus $(2 - V) x$ heraus.

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(2 - V) (x)}$

Schritt 6.1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{2 - V}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{(2 - V) x}$

Schritt 6.1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V^{2}$ .

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Schritt 6.1.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{V^{2}} \cdot \frac{V^{2}}{x}$

Schritt 6.1.4.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 - V}{V^{2}} \frac{d V}{d x} = \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{2 - V}{V^{2}} d V = \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2 - V}{V^{2}} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 6.2.2.1.1

Bringe $V^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\int (2 - V) {(V^{2})}^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(V^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (2 - V) V^{2 \cdot - 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int (2 - V) V^{- 2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Multipliziere $(2 - V) V^{- 2}$ .

$\int 2 V^{- 2} - V \cdot V^{- 2} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Multipliziere $V$ mit $V^{- 2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.2.2.3.1

Bewege $V^{- 2}$ .

$\int 2 V^{- 2} - (V^{- 2} V) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.2

Mutltipliziere $V^{- 2}$ mit $V$ .

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Schritt 6.2.2.3.2.1

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\int 2 V^{- 2} - (V^{- 2} V^{1}) d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int 2 V^{- 2} - V^{- 2 + 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.3

Addiere $- 2$ und $1$ .

$\int 2 V^{- 2} - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int 2 V^{- 2} d V + \int - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Da $2$ konstant bezüglich $V$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int V^{- 2} d V + \int - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $V^{- 2}$ nach $V$ gleich $- V^{- 1}$ .

$2 (- V^{- 1} + C_{1}) + \int - V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7

Da $- 1$ konstant bezüglich $V$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 (- V^{- 1} + C_{1}) - \int V^{- 1} d V = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.8

Das Integral von $V^{- 1}$ nach $V$ ist $\ln (| V |)$ .

$2 (- V^{- 1} + C_{1}) - (\ln (| V |) + C_{2}) = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.9

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.9.1

Vereinfache.

$2 (- \frac{1}{V}) - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.9.2

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.9.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$- 2 \frac{1}{V} - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.9.2.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{V}$ .

$\frac{- 2}{V} - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.9.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{V} - \ln (| V |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \frac{2}{V} - \ln (| V |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{2}{V} - \ln (| V |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{2}{\frac{y}{x}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$

Schritt 8

Löse $- \frac{2}{\frac{y}{x}} - \ln (| \frac{y}{x} |) = \ln (| x |) + C$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{2}{\frac{y}{x}} + C$

Schritt 8.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = 2 (\frac{x}{y}) + C$

Schritt 8.2.2

Kombiniere $2$ und $\frac{x}{y}$ .

$- \ln (| \frac{y}{x} |) - \ln (| x |) = \frac{2 x}{y} + C$

Schritt 8.3

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{2 x}{y} + C + \ln (| x |)$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{2 x}{y} + C + \ln (| x |)$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| \frac{y}{x} |)}{- 1} = \frac{\frac{2 x}{y}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| \frac{y}{x} |)}{1} = \frac{\frac{2 x}{y}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.2.2

Dividiere $\ln (| \frac{y}{x} |)$ durch $1$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = \frac{\frac{2 x}{y}}{- 1} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 8.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\frac{2 x}{y}}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - 1 \cdot \frac{2 x}{y} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \frac{2 x}{y}$ als $- \frac{2 x}{y}$ um.

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{2 x}{y} + \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - 1 \cdot C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - C + \frac{\ln (| x |)}{- 1}$

Schritt 8.3.3.1.5

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (| x |)}{- 1}$ .

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - C - 1 \cdot \ln (| x |)$

Schritt 8.3.3.1.6

Schreibe $- 1 \cdot \ln (| x |)$ als $- \ln (| x |)$ um.

$\ln (| \frac{y}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - C - \ln (| x |)$

Schritt 8.4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = - \frac{2 x}{y} - C$

Schritt 8.5

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = - \frac{2 x}{y} - C$

Schritt 8.6

Multipliziere $| \frac{y}{x} | | x |$ .

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Schritt 8.6.1

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = - \frac{2 x}{y} - C$

Schritt 8.6.2

Kombiniere $\frac{y}{x}$ und $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - C$

Schritt 8.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = - \frac{2 x}{y} - C$

Schritt 8.7.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$\ln (| y |) = - \frac{2 x}{y} - C$