Analysis Beispiele

$(3 + 3 y + 3 y^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 3 + 3 y + 3 y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 + 3 y + 3 y^{2}]$

Schritt 1.2

Differenziere.

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Schritt 1.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 + 3 y + 3 y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3] + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Schritt 1.2.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Schritt 1.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + \frac{d}{d y} [3 y^{2}]$

Schritt 1.4

Berechne $\frac{d}{d y} [3 y^{2}]$ .

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Schritt 1.4.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y^{2}$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 3 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 3 (2 y)$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 + 6 y$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Addiere $0$ und $3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 + 6 y$

Schritt 1.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y + 3$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x + 2 x y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x + 2 x y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 2 x y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Schritt 2.2.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + \frac{d}{d x} [2 x y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $x$ gleich $2 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 + 2 y$

Schritt 2.4

Stelle die Terme um.

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y + 1$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $6 y + 3$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 y + 1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$6 y + 3 = 2 y + 1$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$6 y + 3 = 2 y + 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $6 y + 3$ .

$\frac{6 y + 3 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2 y + 1$ .

$\frac{6 y + 3 - (2 y + 1)}{N}$

Schritt 4.3

Ersetze $N$ durch $x + 2 x y$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $N$ durch $x + 2 x y$ .

$\frac{6 y + 3 - (2 y + 1)}{x + 2 x y}$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{6 y + 3 - (2 y) - 1 \cdot 1}{x + 2 x y}$

Schritt 4.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{6 y + 3 - 2 y - 1 \cdot 1}{x + 2 x y}$

Schritt 4.3.2.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$\frac{6 y + 3 - 2 y - 1}{x + 2 x y}$

Schritt 4.3.2.4

Subtrahiere $2 y$ von $6 y$ .

$\frac{4 y + 3 - 1}{x + 2 x y}$

Schritt 4.3.2.5

Subtrahiere $1$ von $3$ .

$\frac{4 y + 2}{x + 2 x y}$

Schritt 4.3.2.6

Faktorisiere $2$ aus $4 y + 2$ heraus.

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Schritt 4.3.2.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4 y$ heraus.

$\frac{2 (2 y) + 2}{x + 2 x y}$

Schritt 4.3.2.6.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{2 (2 y) + 2 (1)}{x + 2 x y}$

Schritt 4.3.2.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 y) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{2 (2 y + 1)}{x + 2 x y}$

Schritt 4.3.3

Faktorisiere $x$ aus $x + 2 x y$ heraus.

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Schritt 4.3.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{2 (2 y + 1)}{x^{1} + 2 x y}$

Schritt 4.3.3.2

Faktorisiere $x$ aus $x^{1}$ heraus.

$\frac{2 (2 y + 1)}{x \cdot 1 + 2 x y}$

Schritt 4.3.3.3

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{2 (2 y + 1)}{x \cdot 1 + x (2 y)}$

Schritt 4.3.3.4

Faktorisiere $x$ aus $x \cdot 1 + x (2 y)$ heraus.

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (1 + 2 y)}$

Schritt 4.3.4

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2 y + 1$ und $1 + 2 y$ .

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Schritt 4.3.4.1

Stelle die Terme um.

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (2 y + 1)}$

Schritt 4.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (2 y + 1)}{x (2 y + 1)}$

Schritt 4.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{x}$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{x} d x}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int \frac{2}{x} d x}$ .

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Schritt 5.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 5.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 5.3

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| x |)} + C$

Schritt 5.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{2})} + C$

Schritt 5.4.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{2} + C$

Schritt 5.4.3

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$μ (x, y) = x^{2} + C$

Schritt 6

Multipliziere beide Seiten von $(3 + 3 y + 3 y^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $x^{2}$ .

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Schritt 6.1

Mutltipliziere $3 + 3 y + 3 y^{2}$ mit $x^{2}$ .

$(3 + 3 y + 3 y^{2}) x^{2} d x + (x + 2 x y) d y = 0$

Schritt 6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x + 2 x y) d y = 0$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $x + 2 x y$ mit $x^{2}$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x + 2 x y) x^{2} d y = 0$

Schritt 6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x \cdot x^{2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.5

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.5.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{2}$ .

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Schritt 6.5.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{1} x^{2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.5.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{1 + 2} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.5.2

Addiere $1$ und $2$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x y x^{2}) d y = 0$

Schritt 6.6

Multipliziere $x$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 6.6.1

Bewege $x^{2}$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 (x^{2} x) y) d y = 0$

Schritt 6.6.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $x$ .

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Schritt 6.6.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 (x^{2} x^{1}) y) d y = 0$

Schritt 6.6.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{2 + 1} y) d y = 0$

Schritt 6.6.3

Addiere $2$ und $1$ .

$(3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}) d x + (x^{3} + 2 x^{3} y) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{3} + 2 x^{3} y d y$

Schritt 8

Integriere $N (x, y) = x^{3} + 2 x^{3} y$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int x^{3} d y + \int 2 x^{3} y d y$

Schritt 8.2

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = x^{3} y + C + \int 2 x^{3} y d y$

Schritt 8.3

Da $2 x^{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2 x^{3}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{3} \int y d y$

Schritt 8.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + C + 2 x^{3} (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 8.5

Vereinfache.

$f (x, y) = x^{3} y + 2 \cdot \frac{1}{2} x^{3} y^{2} + C$

Schritt 8.6

Vereinfache.

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Schritt 8.6.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{3} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Schritt 8.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 8.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = x^{3} y + \frac{2}{2} x^{3} y^{2} + C$

Schritt 8.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = x^{3} y + 1 x^{3} y^{2} + C$

Schritt 8.6.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{3} y$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Schritt 11.3.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y$ .

$3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Schritt 11.4

Berechne $\frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

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Schritt 11.4.1

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x^{3} y^{2}$ nach $x$ gleich $y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$3 y x^{2} + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Schritt 11.4.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$3 y x^{2} + y^{2} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Schritt 11.4.3

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{2}$ .

$3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Schritt 11.5

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Schritt 11.6

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Subtrahiere $3 x^{2} y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y$

Schritt 12.1.2

Subtrahiere $3 x^{2} y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 12.1.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x^{2} + 3 y x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$ .

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Schritt 12.1.3.1

Ordne die Faktoren in den Termen $3 y x^{2}$ und $- 3 x^{2} y$ neu an.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 x^{2} y + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 12.1.3.2

Subtrahiere $3 x^{2} y$ von $3 x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2} + 0 - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 12.1.3.3

Addiere $3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 y^{2} x^{2} - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 12.1.3.4

Ordne die Faktoren in den Termen $3 y^{2} x^{2}$ und $- 3 x^{2} y^{2}$ neu an.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 3 x^{2} y^{2} - 3 x^{2} y^{2}$

Schritt 12.1.3.5

Subtrahiere $3 x^{2} y^{2}$ von $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

Schritt 12.1.3.6

Addiere $3 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $3 x^{2}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

Schritt 13.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

Schritt 13.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 13.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 13.5.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ als $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ um.

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 13.5.2

Vereinfache.

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Schritt 13.5.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Schritt 13.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 13.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Schritt 13.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

Schritt 13.5.2.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = x^{3} y + x^{3} y^{2} + x^{3} + C$