Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = - \frac{y}{t} + 2$

Schritt 1

Es gilt $V = \frac{y}{t}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - V + 2$

Schritt 2

Löse $V = \frac{y}{t}$ nach $y$ auf.

$y = V t$

Schritt 3

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V t$ nach $t$ zu finden.

$\frac{d y}{d t} = t \frac{d V}{d t} + V$

Schritt 4

Ersetze $\frac{d y}{d t}$ durch $t \frac{d V}{d t} + V$ .

$t \frac{d V}{d t} + V = - V + 2$

Schritt 5

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 5.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 5.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d t}$ auf.

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Schritt 5.1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d V}{d t}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.1.1.1.1

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$t \frac{d V}{d t} = - V + 2 - V$

Schritt 5.1.1.1.2

Subtrahiere $V$ von $- V$ .

$t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$

Schritt 5.1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ durch $t$ und vereinfache.

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Schritt 5.1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $t \frac{d V}{d t} = - 2 V + 2$ durch $t$ .

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Schritt 5.1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 5.1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t \frac{d V}{d t}}{t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Schritt 5.1.1.2.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d t}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Schritt 5.1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.1.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d t} = - \frac{2 V}{t} + \frac{2}{t}$

Schritt 5.1.2

Faktorisiere.

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Schritt 5.1.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d t} = \frac{- 2 V + 2}{t}$

Schritt 5.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 V + 2$ heraus.

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Schritt 5.1.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 V$ heraus.

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2}{t}$

Schritt 5.1.2.2.2

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V) + 2 (1)}{t}$

Schritt 5.1.2.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (- V) + 2 (1)$ heraus.

$\frac{d V}{d t} = \frac{2 (- V + 1)}{t}$

Schritt 5.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{- V + 1}$ .

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{2 (- V + 1)}{t}$

Schritt 5.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- V + 1$ .

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Schritt 5.1.4.1

Faktorisiere $- V + 1$ aus $2 (- V + 1)$ heraus.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

Schritt 5.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{1}{- V + 1} \cdot \frac{(- V + 1) \cdot 2}{t}$

Schritt 5.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{- V + 1} \frac{d V}{d t} = \frac{2}{t}$

Schritt 5.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{- V + 1} d V = \frac{2}{t} d t$

Schritt 5.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 5.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{- V + 1} d V = \int \frac{2}{t} d t$

Schritt 5.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Sei $u = - V + 1$ . Dann ist $d u = - d V$ , folglich $- d u = d V$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Es sei $u = - V + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 5.2.2.1.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 5.2.2.1.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 5.2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Schritt 5.2.2.2

Zerlege den Bruch in mehrere Brüche.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Schritt 5.2.2.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{2}{t} d t$

Schritt 5.2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{2}{t} d t$

Schritt 5.2.2.5

Vereinfache.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Schritt 5.2.2.6

Ersetze alle $u$ durch $- V + 1$ .

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = \int \frac{2}{t} d t$

Schritt 5.2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{t} d t$

Schritt 5.2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{t}$ nach $t$ ist $\ln (| t |)$ .

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 (\ln (| t |) + C_{2})$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache.

$- \ln (| - V + 1 |) + C_{1} = 2 \ln (| t |) + C_{2}$

Schritt 5.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \ln (| - V + 1 |) = 2 \ln (| t |) + C$

Schritt 5.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 5.3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - 2 \ln (| t |) = C$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.2.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (| t |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln ({| t |}^{2}) = C$

Schritt 5.3.2.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| t |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$- \ln (| - \ln (| - V + 1 |) + 1 |) - \ln (t^{2}) = C$

Schritt 5.3.3

Addiere $\ln (t^{2})$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$

Schritt 5.3.4

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $- \ln (| - V + 1 |) = C + \ln (t^{2})$ durch $- 1$ .

$\frac{- \ln (| - V + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Schritt 5.3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.4.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\ln (| - V + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Schritt 5.3.4.2.2

Dividiere $\ln (| - V + 1 |)$ durch $1$ .

$\ln (| - V + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Schritt 5.3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.4.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Schritt 5.3.4.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot C$ als $- C$ um.

$\ln (| - V + 1 |) = - C + \frac{\ln (t^{2})}{- 1}$

Schritt 5.3.4.3.1.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\ln (t^{2})}{- 1}$ .

$\ln (| - V + 1 |) = - C - 1 \cdot \ln (t^{2})$

Schritt 5.3.4.3.1.4

Schreibe $- 1 \cdot \ln (t^{2})$ als $- \ln (t^{2})$ um.

$\ln (| - V + 1 |) = - C - \ln (t^{2})$

Schritt 5.3.5

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| - V + 1 |) + \ln (t^{2}) = - C$

Schritt 5.3.6

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| - V + 1 | t^{2}) = - C$

Schritt 5.3.7

Stelle die Faktoren in $\ln (| - V + 1 | t^{2})$ um.

$\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$

Schritt 5.3.8

Um nach $V$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (t^{2} | - V + 1 |)} = e^{- C}$

Schritt 5.3.9

Schreibe $\ln (t^{2} | - V + 1 |) = - C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = t^{2} | - V + 1 |$

Schritt 5.3.10

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 5.3.10.1

Schreibe die Gleichung als $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ um.

$t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$

Schritt 5.3.10.2

Teile jeden Ausdruck in $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ durch $t^{2}$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.10.2.1

Teile jeden Ausdruck in $t^{2} | - V + 1 | = e^{- C}$ durch $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Schritt 5.3.10.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.10.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t^{2}$ .

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Schritt 5.3.10.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{t^{2} | - V + 1 |}{t^{2}} = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Schritt 5.3.10.2.2.1.2

Dividiere $| - V + 1 |$ durch $1$ .

$| - V + 1 | = \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Schritt 5.3.10.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$- V + 1 = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}$

Schritt 5.3.10.4

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$

Schritt 5.3.10.5

Teile jeden Ausdruck in $- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.10.5.1

Teile jeden Ausdruck in $- V = \pm \frac{e^{- C}}{t^{2}} - 1$ durch $- 1$ .

$\frac{- V}{- 1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3.10.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.10.5.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{V}{1} = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3.10.5.2.2

Dividiere $V$ durch $1$ .

$V = \frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3.10.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.10.5.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.10.5.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}}{- 1}$ .

$V = - 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3.10.5.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ als $- (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}})$ um.

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + \frac{- 1}{- 1}$

Schritt 5.3.10.5.3.1.3

Dividiere $- 1$ durch $- 1$ .

$V = - (\pm \frac{e^{- C}}{t^{2}}) + 1$

Schritt 5.4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = - (\pm \frac{C}{t^{2}}) + 1$

Schritt 5.4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$V = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

Schritt 6

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{t}$ .

$\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$

Schritt 7

Löse $\frac{y}{t} = - (C \frac{1}{t^{2}}) + 1$ nach $y$ auf.

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Schritt 7.1

Multipliziere beide Seiten mit $t$ .

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Schritt 7.2

Vereinfache.

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Schritt 7.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 7.2.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{t} t = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Schritt 7.2.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$

Schritt 7.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.2.2.1

Vereinfache $(- C \frac{1}{t^{2}} + 1) t$ .

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Schritt 7.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{t^{2}}$ und $C$ .

$y = (- \frac{C}{t^{2}} + 1) t$

Schritt 7.2.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - \frac{C}{t^{2}} t + 1 t$

Schritt 7.2.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $t$ .

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Schritt 7.2.2.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{C}{t^{2}}$ in den Zähler.

$y = \frac{- C}{t^{2}} t + 1 t$

Schritt 7.2.2.1.3.2

Faktorisiere $t$ aus $t^{2}$ heraus.

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

Schritt 7.2.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{- C}{t \cdot t} t + 1 t$

Schritt 7.2.2.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{- C}{t} + 1 t$

Schritt 7.2.2.1.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.2.2.1.4.1

Mutltipliziere $t$ mit $1$ .

$y = \frac{- C}{t} + t$

Schritt 7.2.2.1.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{C}{t} + t$

Schritt 7.2.2.1.4.3

Stelle $- \frac{C}{t}$ und $t$ um.

$y = t - \frac{C}{t}$