Analysis Beispiele

$2 x^{2} y d x = (3 x^{3} + y^{3}) d y$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $(3 x^{3} + y^{3}) d y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x^{2} y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x^{2} y]$

Schritt 2.2

Da $2 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x^{2} y$ nach $y$ gleich $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2} \cdot 1$

Schritt 2.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x^{2}$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - (3 x^{3} + y^{3})$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 x^{3} + y^{3})]$

Schritt 3.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- (3 x^{3} + y^{3})$ nach $x$ gleich $- \frac{d}{d x} [3 x^{3} + y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 x^{3} + y^{3}]$

Schritt 3.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x^{3} + y^{3}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Schritt 3.4

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 x^{3}$ nach $x$ gleich $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Schritt 3.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Schritt 3.6

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (9 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}])$

Schritt 3.7

Da $y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (9 x^{2} + 0)$

Schritt 3.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.8.1

Addiere $9 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (9 x^{2})$

Schritt 3.8.2

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 9 x^{2}$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $2 x^{2}$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 9 x^{2}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x^{2} = - 9 x^{2}$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$2 x^{2} = - 9 x^{2}$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 9 x^{2}$ .

$\frac{- 9 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $2 x^{2}$ .

$\frac{- 9 x^{2} - (2 x^{2})}{M}$

Schritt 5.3

Ersetze $M$ durch $2 x^{2} y$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $M$ durch $2 x^{2} y$ .

$\frac{- 9 x^{2} - (2 x^{2})}{2 x^{2} y}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 9 x^{2} - 1 \cdot 2 x^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.2.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 9 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot - 9 - 1 \cdot 2 x^{2}}{2 x^{2} y}$

Schritt 5.3.2.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- 1 \cdot 2 x^{2}$ heraus.

$\frac{x^{2} \cdot - 9 + x^{2} (- 1 \cdot 2)}{2 x^{2} y}$

Schritt 5.3.2.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} \cdot - 9 + x^{2} (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{x^{2} (- 9 - 1 \cdot 2)}{2 x^{2} y}$

Schritt 5.3.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} (- 9 - 2)}{2 x^{2} y}$

Schritt 5.3.2.3

Subtrahiere $2$ von $- 9$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 11}{2 x^{2} y}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x^{2} \cdot - 11}{2 x^{2} y}$

Schritt 5.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 11}{2 y}$

Schritt 5.3.4

Ersetze $M$ durch $2 x^{2} y$ .

$- \frac{11}{2 y}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{11}{2 y} d y}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{11}{2 y} d y}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{11}{2 y} d y}$

Schritt 6.2

Da $\frac{11}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{11}{2}$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{2} \int \frac{1}{y} d y)}$

Schritt 6.3

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{2} (\ln (| y |) + C)}$

Schritt 6.4

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \frac{11}{2} \ln (| y |)} + C$

Schritt 6.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.5.1

Multipliziere $- \frac{11}{2} \ln (| y |)$ .

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Schritt 6.5.1.1

Stelle $\ln (| y |)$ und $\frac{11}{2}$ um.

$μ (x, y) = e^{- (\frac{11}{2} \ln (| y |))} + C$

Schritt 6.5.1.2

Vereinfache $\frac{11}{2} \ln (| y |)$ , indem du $\frac{11}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{- \ln ({| y |}^{\frac{11}{2}})} + C$

Schritt 6.5.2

Vereinfache $- \ln ({| y |}^{\frac{11}{2}})$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1})} + C$

Schritt 6.5.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1} + C$

Schritt 6.5.4

Multipliziere die Exponenten in ${({| y |}^{\frac{11}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 6.5.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{11}{2} \cdot - 1} + C$

Schritt 6.5.4.2

Multipliziere $\frac{11}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 6.5.4.2.1

Kombiniere $\frac{11}{2}$ und $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{11 \cdot - 1}{2}} + C$

Schritt 6.5.4.2.2

Mutltipliziere $11$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = {| y |}^{\frac{- 11}{2}} + C$

Schritt 6.5.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$μ (x, y) = {| y |}^{- \frac{11}{2}} + C$

Schritt 6.5.5

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| y |}^{\frac{11}{2}}} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $2 x^{2} y d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $2 x^{2} y$ mit $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$2 x^{2} y \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.2

Multipliziere $2 x^{2} y \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$x^{2} y \frac{2}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$y \frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.2.3

Kombiniere $y$ und $\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{y (x^{2} \cdot 2)}{y^{\frac{11}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.3

Bringe $y^{1}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2}} y^{- 1}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.4

Multipliziere $y^{\frac{11}{2}}$ mit $y^{- 1}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.4.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2} - 1}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.4.2

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.4.3

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11 - 1 \cdot 2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 7.4.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{11 - 2}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.4.5.2

Subtrahiere $2$ von $11$ .

$\frac{x^{2} \cdot 2}{y^{\frac{9}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) d y = 0$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $- (3 x^{3} + y^{3})$ mit $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x - (3 x^{3} + y^{3}) \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.7

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + (- (3 x^{3}) - y^{3}) \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + (- 3 x^{3} - y^{3}) \frac{1}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.9

Mutltipliziere $- 3 x^{3} - y^{3}$ mit $\frac{1}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- 3 x^{3} - y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.10

Faktorisiere $- 1$ aus $- 3 x^{3}$ heraus.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- (3 x^{3}) - y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.11

Faktorisiere $- 1$ aus $- y^{3}$ heraus.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- (3 x^{3}) - (y^{3})}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.12

Faktorisiere $- 1$ aus $- (3 x^{3}) - (y^{3})$ heraus.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- (3 x^{3} + y^{3})}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.13

Schreibe $- (3 x^{3} + y^{3})$ als $- 1 (3 x^{3} + y^{3})$ um.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x + \frac{- 1 (3 x^{3} + y^{3})}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Schritt 7.14

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}} d x$

Schritt 9

Integriere $M (x, y) = \frac{2 x^{2}}{y^{\frac{9}{2}}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Da $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}}$ aus dem Integral.

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} \int x^{2} d x$

Schritt 9.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 9.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 9.3.1

Schreibe $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ als $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ um.

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}}} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 9.3.2

Vereinfache.

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Schritt 9.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{2}{y^{\frac{9}{2}}}$ mit $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{y^{\frac{9}{2}} \cdot 3} x^{3} + C$

Schritt 9.3.2.2

Bringe $3$ auf die linke Seite von $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{3 \cdot y^{\frac{9}{2}}} x^{3} + C$

Schritt 9.3.2.3

Mutltipliziere $3$ mit $y^{\frac{9}{2}}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{3 y^{\frac{9}{2}}} x^{3} + C$

Schritt 9.3.2.4

Kombiniere $\frac{2}{3 y^{\frac{9}{2}}}$ und $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $\frac{2 x^{3}}{3}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}}$ nach $y$ gleich $\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}]$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.2

Schreibe $\frac{1}{y^{\frac{9}{2}}}$ als ${(y^{\frac{9}{2}})}^{- 1}$ um.

$\frac{2 x^{3}}{3} \frac{d}{d y} [{(y^{\frac{9}{2}})}^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = y^{- 1}$ und $g (y) = y^{\frac{9}{2}}$ .

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Schritt 12.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $y^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- u^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $y^{\frac{9}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- {(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2} \frac{d}{d y} [y^{\frac{9}{2}}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{9}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- {(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{9}{2}})}^{- 2}$ .

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Schritt 12.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{\frac{9}{2} \cdot - 2} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 12.3.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{\frac{9}{2} \cdot (2 (- 1))} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{\frac{9}{2} \cdot (2 \cdot - 1)} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{9 \cdot - 1} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.5.3

Mutltipliziere $9$ mit $- 1$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 1 \cdot 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{9 - 2}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.9.2

Subtrahiere $2$ von $9$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} (\frac{9}{2} y^{\frac{7}{2}})) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.10

Kombiniere $\frac{9}{2}$ und $y^{\frac{7}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- y^{- 9} \frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.11

Kombiniere $\frac{9 y^{\frac{7}{2}}}{2}$ und $y^{- 9}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{7}{2}} y^{- 9}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.12

Multipliziere $y^{\frac{7}{2}}$ mit $y^{- 9}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 12.3.12.1

Bewege $y^{- 9}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 (y^{- 9} y^{\frac{7}{2}})}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.12.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{- 9 + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.12.3

Um $- 9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{- 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.12.4

Kombiniere $- 9$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.12.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 9 \cdot 2 + 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.12.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 12.3.12.6.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 18 + 7}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.12.6.2

Addiere $- 18$ und $7$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{\frac{- 11}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.12.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9 y^{- \frac{11}{2}}}{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.13

Bringe $y^{- \frac{11}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2 x^{3}}{3} (- \frac{9}{2 y^{\frac{11}{2}}}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.14

Mutltipliziere $\frac{2 x^{3}}{3}$ mit $\frac{9}{2 y^{\frac{11}{2}}}$ .

$- \frac{2 x^{3} \cdot 9}{3 (2 y^{\frac{11}{2}})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.15

Mutltipliziere $9$ mit $2$ .

$- \frac{18 x^{3}}{3 (2 y^{\frac{11}{2}})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.16

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$- \frac{18 x^{3}}{6 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.17

Faktorisiere $6$ aus $18 x^{3}$ heraus.

$- \frac{6 (3 x^{3})}{6 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.18

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 12.3.18.1

Faktorisiere $6$ aus $6 y^{\frac{11}{2}}$ heraus.

$- \frac{6 (3 x^{3})}{6 (y^{\frac{11}{2}})} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{6 (3 x^{3})}{6 y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.3.18.3

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$- \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 12.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} - \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = - \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 13.1.1

Vereinfache $\frac{d g}{d y} - \frac{3 x^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} + \frac{3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}}$ .

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Schritt 13.1.1.1

Vereinfache Terme.

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Schritt 13.1.1.1.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- 3 x^{3} + 3 x^{3} + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.1.2

Addiere $- 3 x^{3}$ und $3 x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.1.3

Addiere $0$ und $y^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{3}}{y^{\frac{11}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.2.1

Bringe $y^{3}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2}} y^{- 3}} = 0$

Schritt 13.1.1.2.2

Multipliziere $y^{\frac{11}{2}}$ mit $y^{- 3}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 13.1.1.2.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2} - 3}} = 0$

Schritt 13.1.1.2.2.2

Um $- 3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.2.2.3

Kombiniere $- 3$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.2.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11 - 3 \cdot 2}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.2.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.1.1.2.2.5.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $2$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{11 - 6}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.1.2.2.5.2

Subtrahiere $6$ von $11$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} = 0$

Schritt 13.1.2

Subtrahiere $\frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $- \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} d y$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} d y$

Schritt 14.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - \int \frac{1}{y^{\frac{5}{2}}} d y$

Schritt 14.4

Bringe $y^{\frac{5}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$g (y) = - \int {(y^{\frac{5}{2}})}^{- 1} d y$

Schritt 14.5

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{5}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 14.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (y) = - \int y^{\frac{5}{2} \cdot - 1} d y$

Schritt 14.5.2

Multipliziere $\frac{5}{2} \cdot - 1$ .

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Schritt 14.5.2.1

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $- 1$ .

$g (y) = - \int y^{\frac{5 \cdot - 1}{2}} d y$

Schritt 14.5.2.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$g (y) = - \int y^{\frac{- 5}{2}} d y$

Schritt 14.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g (y) = - \int y^{- \frac{5}{2}} d y$

Schritt 14.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- \frac{5}{2}}$ nach $y$ gleich $- \frac{2}{3} y^{- \frac{3}{2}}$ .

$g (y) = - (- \frac{2}{3} y^{- \frac{3}{2}} + C)$

Schritt 14.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.7.1

Vereinfache.

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Schritt 14.7.1.1

Kombiniere $y^{- \frac{3}{2}}$ und $\frac{2}{3}$ .

$g (y) = - (- \frac{y^{- \frac{3}{2}} \cdot 2}{3} + C)$

Schritt 14.7.1.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{- \frac{3}{2}}$ .

$g (y) = - (- \frac{2 \cdot y^{- \frac{3}{2}}}{3} + C)$

Schritt 14.7.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $y^{- \frac{3}{2}}$ .

$g (y) = - (- \frac{2 y^{- \frac{3}{2}}}{3} + C)$

Schritt 14.7.1.4

Bringe $y^{- \frac{3}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$g (y) = - (- \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C)$

Schritt 14.7.2

Vereinfache.

$g (y) = - - \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 14.7.3

Vereinfache.

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Schritt 14.7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (y) = 1 \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 14.7.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}}$ mit $1$ .

$g (y) = \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$

Schritt 15

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{2 x^{3}}{3 y^{\frac{9}{2}}} + \frac{2}{3 y^{\frac{3}{2}}} + C$