Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\sin (y) + y \cos (y)$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x (2 \log (e^{x})) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sin (y) + y \cos (y)$ .

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Schritt 1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{2 x \log (e^{x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Schritt 1.2.1.2

Vereinfache $2 \log (e^{x})$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log ({(e^{x})}^{2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Schritt 1.2.1.3

Multipliziere die Exponenten in ${(e^{x})}^{2}$ .

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Schritt 1.2.1.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{x \cdot 2}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Schritt 1.2.1.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Schritt 1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = (\sin (y) + y \cos (y)) \frac{x \log (e^{2 x}) + 1}{\sin (y) + y \cos (y)}$

Schritt 1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$(\sin (y) + y \cos (y)) \frac{d y}{d x} = x \log (e^{2 x}) + 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(\sin (y) + y \cos (y)) d y = (x \log (e^{2 x}) + 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \sin (y) + y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \sin (y) d y + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\sin (y)$ nach $y$ ist $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + \int y \cos (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Schritt 2.2.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - \int \sin (y) d y = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\sin (y)$ nach $y$ ist $- \cos (y)$ .

$- \cos (y) + C_{1} + y \sin (y) - (- \cos (y) + C_{2}) = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.1

Vereinfache.

$- \cos (y) + y \sin (y) + \cos (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Schritt 2.2.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.5.2.1

Addiere $- \cos (y)$ und $\cos (y)$ .

$y \sin (y) + 0 + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Schritt 2.2.5.2.2

Addiere $y \sin (y)$ und $0$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int x \log (e^{2 x}) + 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Schreibe $x \log (e^{2 x}) + 1$ als $x (2 x \log (e)) + 1$ um.

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) + 1 d x$

Schritt 2.3.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y \sin (y) + C_{3} = \int x (2 x \log (e)) d x + \int d x$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x) \log (e) d x + \int d x$

Schritt 2.3.3.2

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 (x^{1} x^{1}) \log (e) d x + \int d x$

Schritt 2.3.3.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{1 + 1} \log (e) d x + \int d x$

Schritt 2.3.3.4

Addiere $1$ und $1$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \int 2 x^{2} \log (e) d x + \int d x$

Schritt 2.3.4

Da $2 \log (e)$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2 \log (e)$ aus dem Integral.

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) \int x^{2} d x + \int d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + \int d x$

Schritt 2.3.6

Wende die Konstantenregel an.

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = 2 \log (e) (\frac{x^{3}}{3} + C_{4}) + x + C_{5}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{x^{3} \cdot 2 \log (e)}{3} + x + C_{6}$

Schritt 2.3.7.3

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{3}$ .

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 x^{3} \log (e)}{3} + x + C_{6}$

Schritt 2.3.7.4

Stelle die Terme um.

$y \sin (y) + C_{3} = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y \sin (y) = \frac{2 \log (e)}{3} x^{3} + x + K$