Analysis Beispiele

$(y + 2 x) d y + d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Mutltipliziere $1$ mit $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 1$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 2.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y + 2 x$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y + 2 x]$

Schritt 3.2

Differenziere.

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Schritt 3.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y + 2 x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.2.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [2 x]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 \cdot 1$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2$

Schritt 3.4

Addiere $0$ und $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $0$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$0 = 2$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$0 = 2$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $2$ .

$\frac{2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $0$ .

$\frac{2 + 0}{M}$

Schritt 5.3

Ersetze $M$ durch $1$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $M$ durch $1$ .

$\frac{2 + 0}{1}$

Schritt 5.3.2

Dividiere $2 + 0$ durch $1$ .

$2 + 0$

Schritt 5.3.3

Ersetze $M$ durch $1$ .

$2$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int 2 d y}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int 2 d y}$ .

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Schritt 6.1

Wende die Konstantenregel an.

$μ (x, y) = e^{2 y + C}$

Schritt 6.2

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{2 y} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $d x + (y + 2 x) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $e^{2 y}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $1$ mit $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) d y = 0$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $y + 2 x$ mit $e^{2 y}$ .

$d x + (y + 2 x) e^{2 y} d y = 0$

Schritt 7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$d x + (y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}) d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{2 y} d x$

Schritt 9

Integriere $M (x, y) = e^{2 y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = e^{2 y} x + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x + g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{2 y} x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d y} [e^{2 y} x]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $e^{2 y} x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [e^{2 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Schritt 12.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = 2 y$ .

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Schritt 12.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Schritt 12.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Schritt 12.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $2 y$ .

$x (e^{2 y} \frac{d}{d y} [2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Schritt 12.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{2 y} (2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Schritt 12.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (e^{2 y} (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Schritt 12.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$x (e^{2 y} \cdot 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Schritt 12.3.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $e^{2 y}$ .

$x (2 \cdot e^{2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Schritt 12.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 x e^{2 y} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$2 x e^{2 y} + \frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Schritt 12.5

Vereinfache.

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Schritt 12.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Schritt 12.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d y} + 2 e^{2 y} x$ um.

$\frac{d g}{d y} + 2 x e^{2 y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 13.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1

Subtrahiere $2 x e^{2 y}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$

Schritt 13.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y e^{2 y} + 2 x e^{2 y} - 2 x e^{2 y}$ .

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Schritt 13.1.2.1

Subtrahiere $2 x e^{2 y}$ von $2 x e^{2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y} + 0$

Schritt 13.1.2.2

Addiere $y e^{2 y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $y e^{2 y}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = y e^{2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y e^{2 y} d y$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y e^{2 y} d y$

Schritt 14.3

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = e^{2 y}$ .

$g (y) = y (\frac{1}{2} e^{2 y}) - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Schritt 14.4

Vereinfache.

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Schritt 14.4.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{2 y}$ .

$g (y) = y \frac{e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Schritt 14.4.2

Kombiniere $y$ und $\frac{e^{2 y}}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \int \frac{1}{2} e^{2 y} d y$

Schritt 14.5

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - (\frac{1}{2} \int e^{2 y} d y)$

Schritt 14.6

Entferne die Klammern.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{2 y} d y$

Schritt 14.7

Sei $u = 2 y$ . Dann ist $d u = 2 d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 14.7.1

Es sei $u = 2 y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 14.7.1.1

Differenziere $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Schritt 14.7.1.2

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y$ nach $y$ gleich $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 14.7.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Schritt 14.7.1.4

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$2$

Schritt 14.7.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Schritt 14.8

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Schritt 14.9

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2} (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Schritt 14.10

Vereinfache.

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Schritt 14.10.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u$

Schritt 14.10.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Schritt 14.11

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$g (y) = \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$

Schritt 14.12

Schreibe $\frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C)$ als $\frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$ um.

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{u} + C$

Schritt 14.13

Ersetze alle $u$ durch $2 y$ .

$g (y) = \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Schritt 15

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = e^{2 y} x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Schritt 16

Vereinfache $f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{1}{2} y e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$ .

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Schritt 16.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 16.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y}{2} e^{2 y} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Schritt 16.1.2

Kombiniere $\frac{y}{2}$ und $e^{2 y}$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{1}{4} e^{2 y} + C$

Schritt 16.1.3

Kombiniere $e^{2 y}$ und $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = e^{2 y} x + \frac{y e^{2 y}}{2} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Schritt 16.2

Subtrahiere $\frac{e^{2 y}}{4}$ von $e^{2 y} x$ .

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Schritt 16.2.1

Stelle $e^{2 y}$ und $x$ um.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Schritt 16.2.2

Um $x e^{2 y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + x e^{2 y} \cdot \frac{4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Schritt 16.2.3

Kombiniere $x e^{2 y}$ und $\frac{4}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4}{4} - \frac{e^{2 y}}{4} + C$

Schritt 16.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{x e^{2 y} \cdot 4 - e^{2 y}}{4} + C$

Schritt 16.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.3.1

Bringe $4$ auf die linke Seite von $x e^{2 y}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{4 \cdot (x e^{2 y}) - e^{2 y}}{4} + C$

Schritt 16.3.2

Faktorisiere $e^{2 y}$ aus $4 x e^{2 y} - e^{2 y}$ heraus.

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Schritt 16.3.2.1

Faktorisiere $e^{2 y}$ aus $4 x e^{2 y}$ heraus.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) - e^{2 y}}{4} + C$

Schritt 16.3.2.2

Faktorisiere $e^{2 y}$ aus $- e^{2 y}$ heraus.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1}{4} + C$

Schritt 16.3.2.3

Faktorisiere $e^{2 y}$ aus $e^{2 y} (4 x) + e^{2 y} \cdot - 1$ heraus.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Schritt 16.4

Um $\frac{y e^{2 y}}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y}}{2} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Schritt 16.5

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $4$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 16.5.1

Mutltipliziere $\frac{y e^{2 y}}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{2 \cdot 2} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Schritt 16.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2}{4} + \frac{e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Schritt 16.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Schritt 16.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 16.7.1

Faktorisiere $e^{2 y}$ aus $y e^{2 y} \cdot 2 + e^{2 y} (4 x - 1)$ heraus.

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Schritt 16.7.1.1

Faktorisiere $e^{2 y}$ aus $y e^{2 y} \cdot 2$ heraus.

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)}{4} + C$

Schritt 16.7.1.2

Faktorisiere $e^{2 y}$ aus $e^{2 y} (y \cdot 2) + e^{2 y} (4 x - 1)$ heraus.

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (y \cdot 2 + 4 x - 1)}{4} + C$

Schritt 16.7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$f (x, y) = \frac{e^{2 y} (2 y + 4 x - 1)}{4} + C$