Analysis Beispiele

$e^{x} (y - 1) d x + 2 (e^{x} + 4) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $e^{x} (y - 1) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 (e^{x} + 4) d y = - e^{x} (y - 1) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (2 (e^{x} + 4)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ .

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{x} + 4$ .

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Schritt 3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} + 4) d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Schritt 3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (- e^{x} (y - 1)) d x$

Schritt 3.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Schritt 3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(e^{x} + 4) (y - 1)}$ in den Zähler.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(e^{x} + 4) (y - 1)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Schritt 3.5.2

Faktorisiere $y - 1$ aus $(e^{x} + 4) (y - 1)$ heraus.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} (e^{x} (y - 1)) d x$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $y - 1$ aus $e^{x} (y - 1)$ heraus.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

Schritt 3.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{(y - 1) (e^{x} + 4)} ((y - 1) e^{x}) d x$

Schritt 3.5.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- 1}{e^{x} + 4} e^{x} d x$

Schritt 3.6

Kombiniere $\frac{- 1}{e^{x} + 4}$ und $e^{x}$ .

$\frac{2}{y - 1} d y = \frac{- e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{2}{y - 1} d y = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{1}{y - 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Schritt 4.2.2

Sei $u_{1} = y - 1$ . Dann ist $d u_{1} = d y$ . Forme um unter Vewendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.2.2.1

Es sei $u_{1} = y - 1$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Differenziere $y - 1$ .

$\frac{d}{d y} [y - 1]$

Schritt 4.2.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y - 1$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 4.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Schritt 4.2.2.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 4.2.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$2 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Schritt 4.2.3

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$2 (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Schritt 4.2.4

Vereinfache.

$2 \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Schritt 4.2.5

Ersetze alle $u_{1}$ durch $y - 1$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 4} d x$

Schritt 4.3.2

Sei $u_{2} = e^{x} + 4$ . Dann ist $d u_{2} = e^{x} d x$ , folglich $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.3.2.1

Es sei $u_{2} = e^{x} + 4$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 4.3.2.1.1

Differenziere $e^{x} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 4]$

Schritt 4.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{x} + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 4.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ gleich $a^{x} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 4.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 4.3.2.1.4.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$e^{x} + 0$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Addiere $e^{x}$ und $0$ .

$e^{x}$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 4.3.3

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 4.3.4

Vereinfache.

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 4.3.5

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{x} + 4$ .

$2 \ln (| y - 1 |) + C_{1} = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$2 \ln (| y - 1 |) = - \ln (| e^{x} + 4 |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Schritt 5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache $2 \ln (| y - 1 |) + \ln (| e^{x} + 4 |)$ .

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.1.1.1

Vereinfache $2 \ln (| y - 1 |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln ({| y - 1 |}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Schritt 5.2.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| y - 1 |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln ({(y - 1)}^{2}) + \ln (| e^{x} + 4 |) = C$

Schritt 5.2.1.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |) = C$

Schritt 5.2.1.3

Stelle die Faktoren in $\ln ({(y - 1)}^{2} | e^{x} + 4 |)$ um.

$\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2}) = C$

Schritt 5.3

Multipliziere $\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ aus.

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Schritt 5.3.1

Schreibe $\ln (| e^{x} + 4 | {(y - 1)}^{2})$ als $\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$ um.

$\ln (| e^{x} + 4 |) + \ln ({(y - 1)}^{2})$

Schritt 5.3.2

Zerlege $\ln ({(y - 1)}^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1)$

Schritt 5.4

Die ausmultiplizierte Gleichung ist $\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$ .

$\ln (| e^{x} + 4 |) + 2 \ln (y - 1) = C$

Schritt 5.5

Subtrahiere $\ln (| e^{x} + 4 |)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$

Schritt 5.6

Teile jeden Ausdruck in $2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.6.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \ln (y - 1) = C - \ln (| e^{x} + 4 |)$ durch $2$ .

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Schritt 5.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \ln (y - 1)}{2} = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Schritt 5.6.2.1.2

Dividiere $\ln (y - 1)$ durch $1$ .

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Schritt 5.6.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.6.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$

Schritt 5.7

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (y - 1)} = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Schritt 5.8

Schreibe $\ln (y - 1) = \frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} = y - 1$

Schritt 5.9

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.9.1

Schreibe die Gleichung als $y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ um.

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Schritt 5.9.2

Vereinfache $e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ .

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Schritt 5.9.2.1

Forme um.

$y - 1 = 0 + 0 + e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Schritt 5.9.2.2

Vereinfache durch Addieren von Nullen.

$y - 1 = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Schritt 5.9.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y - 1 = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$

Schritt 5.9.3

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 5.9.3.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = e^{\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Schritt 5.9.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.9.3.2.1

Zerlege den Bruch $\frac{C - \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}$ in zwei Brüche.

$y = e^{\frac{C}{2} + \frac{- \ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Schritt 5.9.3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = e^{\frac{C}{2} - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = e^{C - \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$

Schritt 6.2

Stelle die Terme um.

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C} + 1$

Schritt 6.3

Schreibe $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2} + C}$ als $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C}$ um.

$y = e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} e^{C} + 1$

Schritt 6.4

Stelle $e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}}$ und $e^{C}$ um.

$y = e^{C} e^{- \frac{\ln (| e^{x} + 4 |)}{2}} + 1$