Analysis Beispiele

$\frac{d r}{d t} = \frac{2 t + t r^{2}}{4 r + r t^{2}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $t$ aus $2 t + t r^{2}$ heraus.

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Schritt 1.1.1

Faktorisiere $t$ aus $2 t$ heraus.

$\frac{d r}{d t} = \frac{t \cdot 2 + t r^{2}}{4 r + r t^{2}}$

Schritt 1.1.2

Faktorisiere $t$ aus $t r^{2}$ heraus.

$\frac{d r}{d t} = \frac{t \cdot 2 + t (r^{2})}{4 r + r t^{2}}$

Schritt 1.1.3

Faktorisiere $t$ aus $t \cdot 2 + t (r^{2})$ heraus.

$\frac{d r}{d t} = \frac{t \cdot (2 + r^{2})}{4 r + r t^{2}}$

Schritt 1.1.4

Mutltipliziere $t$ mit $2 + r^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{4 r + r t^{2}}$

Schritt 1.2

Faktorisiere $r$ aus $4 r + r t^{2}$ heraus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $r$ aus $4 r$ heraus.

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r \cdot 4 + r t^{2}}$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere $r$ aus $r t^{2}$ heraus.

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r \cdot 4 + r (t^{2})}$

Schritt 1.2.3

Faktorisiere $r$ aus $r \cdot 4 + r (t^{2})$ heraus.

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r \cdot (4 + t^{2})}$

Schritt 1.2.4

Mutltipliziere $r$ mit $4 + t^{2}$ .

$\frac{d r}{d t} = \frac{t (2 + r^{2})}{r (4 + t^{2})}$

Schritt 1.3

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d r}{d t} = \frac{t}{4 + t^{2}} \cdot \frac{2 + r^{2}}{r}$

Schritt 1.4

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{r}{2 + r^{2}}$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} (\frac{t}{4 + t^{2}} \cdot \frac{2 + r^{2}}{r})$

Schritt 1.5

Vereinfache.

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Schritt 1.5.1

Mutltipliziere $\frac{t}{4 + t^{2}}$ mit $\frac{2 + r^{2}}{r}$ .

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{(4 + t^{2}) r}$

Schritt 1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $r$ .

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Schritt 1.5.2.1

Faktorisiere $r$ aus $(4 + t^{2}) r$ heraus.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{r (4 + t^{2})}$

Schritt 1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{r}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{r (4 + t^{2})}$

Schritt 1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{1}{2 + r^{2}} \cdot \frac{t (2 + r^{2})}{4 + t^{2}}$

Schritt 1.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 + r^{2}$ .

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Schritt 1.5.3.1

Faktorisiere $2 + r^{2}$ aus $t (2 + r^{2})$ heraus.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{1}{2 + r^{2}} \cdot \frac{(2 + r^{2}) t}{4 + t^{2}}$

Schritt 1.5.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{1}{2 + r^{2}} \cdot \frac{(2 + r^{2}) t}{4 + t^{2}}$

Schritt 1.5.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{r}{2 + r^{2}} \frac{d r}{d t} = \frac{t}{4 + t^{2}}$

Schritt 1.6

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{r}{2 + r^{2}} d r = \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{r}{2 + r^{2}} d r = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Sei $u_{1} = 2 + r^{2}$ . Dann ist $d u_{1} = 2 r d r$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{1} = r d r$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 2.2.1.1

Es sei $u_{1} = 2 + r^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d r}$ .

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Schritt 2.2.1.1.1

Differenziere $2 + r^{2}$ .

$\frac{d}{d r} [2 + r^{2}]$

Schritt 2.2.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 + r^{2}$ nach $r$ $\frac{d}{d r} [2] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$ .

$\frac{d}{d r} [2] + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 2.2.1.1.3

Da $2$ konstant bezüglich $r$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $r$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d r} [r^{2}]$

Schritt 2.2.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d r} [r^{n}]$ gleich $n r^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 r$

Schritt 2.2.1.1.5

Addiere $0$ und $2 r$ .

$2 r$

Schritt 2.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Schritt 2.2.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{1}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Schritt 2.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{1}}$ nach $u_{1}$ ist $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Schritt 2.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $2 + r^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{t}{4 + t^{2}} d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Sei $u_{2} = 4 + t^{2}$ . Dann ist $d u_{2} = 2 t d t$ , folglich $\frac{1}{2} d u_{2} = t d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.1.1

Es sei $u_{2} = 4 + t^{2}$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 2.3.1.1.1

Differenziere $4 + t^{2}$ .

$\frac{d}{d t} [4 + t^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $4 + t^{2}$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$\frac{d}{d t} [4] + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.3

Da $4$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d t} [t^{2}]$

Schritt 2.3.1.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$0 + 2 t$

Schritt 2.3.1.1.5

Addiere $0$ und $2 t$ .

$2 t$

Schritt 2.3.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u_{2}}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 2} d u_{2}$

Schritt 2.3.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u_{2}$ durch $4 + t^{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |) = \frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |)) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

Schritt 3.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| 2 + r^{2} |))$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| 2 + r^{2} |)$ .

$2 \frac{\ln (| 2 + r^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \frac{\ln (| 2 + r^{2} |)}{2} = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache $2 (\frac{1}{2} \ln (| 4 + t^{2} |) + C)$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| 4 + t^{2} |)$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 4 + t^{2} |)}{2} + C)$

Schritt 3.2.2.1.2

Um $C$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 4 + t^{2} |)}{2} + C \cdot \frac{2}{2})$

Schritt 3.2.2.1.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 3.2.2.1.3.1

Kombiniere $C$ und $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 (\frac{\ln (| 4 + t^{2} |)}{2} + \frac{C \cdot 2}{2})$

Schritt 3.2.2.1.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 \frac{\ln (| 4 + t^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = 2 \frac{\ln (| 4 + t^{2} |) + C \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.2.1.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| 2 + r^{2} |) = \ln (| 4 + t^{2} |) + C \cdot 2$

Schritt 3.2.2.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $C$ .

$\ln (| 2 + r^{2} |) = \ln (| 4 + t^{2} |) + 2 C$

Schritt 3.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| 2 + r^{2} |) - \ln (| 4 + t^{2} |) = 2 C$

Schritt 3.4

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |}) = 2 C$

Schritt 3.5

Um nach $r$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |})} = e^{2 C}$

Schritt 3.6

Schreibe $\ln (\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |}) = 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |}$

Schritt 3.7

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.7.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} = e^{2 C}$ um.

$\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} = e^{2 C}$

Schritt 3.7.2

Multipliziere beide Seiten mit $| 4 + t^{2} |$ .

$\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} | 4 + t^{2} | = e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

Schritt 3.7.3

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.7.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $| 4 + t^{2} |$ .

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Schritt 3.7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| 2 + r^{2} |}{| 4 + t^{2} |} | 4 + t^{2} | = e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

Schritt 3.7.3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| 2 + r^{2} | = e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

Schritt 3.7.4

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.7.4.1

Stelle die Faktoren in $e^{2 C} | 4 + t^{2} |$ um.

$| 2 + r^{2} | = | 4 + t^{2} | e^{2 C}$

Schritt 3.7.4.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$2 + r^{2} = \pm | 4 + t^{2} | e^{2 C}$

Schritt 3.7.4.3

Stelle die Faktoren in $\pm | 4 + t^{2} | e^{2 C}$ um.

$2 + r^{2} = \pm e^{2 C} | 4 + t^{2} |$

Schritt 3.7.4.4

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$r^{2} = \pm e^{2 C} | 4 + t^{2} | - 2$

Schritt 3.7.4.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$r = \pm \sqrt{\pm e^{2 C} | 4 + t^{2} | - 2}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$r = \pm \sqrt{\pm C | 4 + t^{2} | - 2}$

Schritt 4.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$r = \pm \sqrt{C | 4 + t^{2} | - 2}$