Analysis Beispiele

$2 x \frac{d y}{d x} = x + y$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ um.

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Schritt 1.1

Subtrahiere $y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x \frac{d y}{d x} - y = x$

Schritt 1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x \frac{d y}{d x} - y = x$ durch $2 x$ .

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Schritt 1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x \frac{d y}{d x}}{2 x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Schritt 1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Schritt 1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Schritt 1.4.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Schritt 1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{x}{2 x}$

Schritt 1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{2 x} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.6

Faktorisiere $y$ aus $\frac{- y}{2 x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{2 x} = \frac{1}{2}$

Schritt 1.7

Stelle $y$ und $\frac{- 1}{2 x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{2 x} y = \frac{1}{2}$

Schritt 2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = \frac{- 1}{2 x}$ gilt.

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Schritt 2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int \frac{- 1}{2 x} d x}$

Schritt 2.2

Integriere $\frac{- 1}{2 x}$ .

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Schritt 2.2.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e^{\int - \frac{1}{2 x} d x}$

Schritt 2.2.2

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{1}{2 x} d x}$

Schritt 2.2.3

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$e^{- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- \frac{1}{2} (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 2.2.5

Vereinfache.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (| x |) + C}$

Schritt 2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- \frac{1}{2} \ln (x)}$

Schritt 2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- \frac{1}{2}})}$

Schritt 2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- \frac{1}{2}}$

Schritt 2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

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Schritt 3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (- \frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 x} y) = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $\frac{1}{2 x}$ und $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.5

Multipliziere $- \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{y}{2 x}$ .

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Schritt 3.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{y}{2 x}$ mit $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x \cdot x^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.5.2

Multipliziere $x$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.2.5.2.1

Bewege $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} x)} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.5.2.2

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x$ .

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Schritt 3.2.5.2.2.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 (x^{\frac{1}{2}} x^{1})} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.5.2.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2} + 1}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.5.2.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{1 + 2}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.2.5.2.5

Addiere $1$ und $2$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{2}$

Schritt 3.3

Kombinieren.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1 \cdot 1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 3.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{x^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Schritt 3.5

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{\frac{1}{2}}} - \frac{y}{2 x^{\frac{3}{2}}} = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y] = \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Schritt 5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y] d x = \int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \int \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Schritt 7.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 7.2.1

Bringe $x^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Schritt 7.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Schritt 7.2.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Schritt 7.2.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Schritt 7.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{1}{2}}$ nach $x$ gleich $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$

Schritt 7.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.4.1

Schreibe $\frac{1}{2} (2 x^{\frac{1}{2}} + C)$ als $\frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$ um.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{1}{2} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7.4.2

Vereinfache.

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Schritt 7.4.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = \frac{2}{2} x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7.4.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = 1 x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 7.4.2.3

Mutltipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $1$ .

$\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} y = x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 8

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ und $y$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} = x^{\frac{1}{2}} + C$

Schritt 8.2

Multipliziere beide Seiten mit $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.3

Vereinfache.

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Schritt 8.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 8.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x^{\frac{1}{2}}} x^{\frac{1}{2}} = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 8.3.2.1

Vereinfache $(x^{\frac{1}{2}} + C) x^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 8.3.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = x^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.3.2.1.2

Multipliziere $x^{\frac{1}{2}}$ mit $x^{\frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 8.3.2.1.2.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = x^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.3.2.1.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = x^{\frac{1 + 1}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.3.2.1.2.3

Addiere $1$ und $1$ .

$y = x^{\frac{2}{2}} + C x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.3.2.1.2.4

Dividiere $2$ durch $2$ .

$y = x^{1} + C x^{\frac{1}{2}}$

Schritt 8.3.2.1.3

Vereinfache $x^{1}$ .

$y = x + C x^{\frac{1}{2}}$