Analysis Beispiele

$(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y) d y - 7 d x = 0$

Schritt 1

Addiere $7 d x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y) d y = 7 d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y)) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x^{2}$ .

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Schritt 3.1.1

Faktorisiere $1 - x^{2}$ aus $(1 - x^{2}) \cdot \cos (3 y)$ heraus.

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) (\cos (3 y))) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Schritt 3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{1 - x^{2}} ((1 - x^{2}) \cos (3 y)) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Schritt 3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{1 - x^{2}} \cdot 7 d x$

Schritt 3.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 3.2.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{1^{2} - x^{2}} \cdot 7 d x$

Schritt 3.2.2

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 1$ und $b = x$ .

$\cos (3 y) d y = \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} \cdot 7 d x$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{1}{(1 + x) (1 - x)}$ und $7$ .

$\cos (3 y) d y = \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \cos (3 y) d y = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Sei $u_{1} = 3 y$ . Dann ist $d u_{1} = 3 d y$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u_{1}$ und $d$ $u_{1}$ .

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Schritt 4.2.1.1

Es sei $u_{1} = 3 y$ . Ermittle $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Schritt 4.2.1.1.1

Differenziere $3 y$ .

$\frac{d}{d y} [3 y]$

Schritt 4.2.1.1.2

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ nach $y$ gleich $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 4.2.1.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Schritt 4.2.1.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$3$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{1}$ und $d u_{1}$ neu.

$\int \cos (u_{1}) \frac{1}{3} d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 4.2.2

Kombiniere $\cos (u_{1})$ und $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{\cos (u_{1})}{3} d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 4.2.3

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{1}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \int \cos (u_{1}) d u_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 4.2.4

Das Integral von $\cos (u_{1})$ nach $u_{1}$ ist $\sin (u_{1})$ .

$\frac{1}{3} (\sin (u_{1}) + C_{1}) = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 4.2.5

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \sin (u_{1}) + C_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 4.2.6

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 y$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = \int \frac{7}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $7$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $7$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 \int \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Schritt 4.3.2

Schreibe den Bruch mithilfe der Teilbruchzerlegung.

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Schritt 4.3.2.1

Zerlege den Bruch und multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner durch.

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Schritt 4.3.2.1.1

Bilde für jeden Faktor im Nenner einen neuen Bruch mit dem Faktor als Nenner und einem unbekannten Wert als Zähler. Da der Faktor im Nenner linear ist, setze eine einzelne Variable für den Zähler ein $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Schritt 4.3.2.1.2

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.3

Multipliziere jeden Bruch in der Gleichung mit dem Nenner des ursprünglichen Ausdrucks. In diesem Fall ist der Nenner gleich $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 4.3.2.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 4.3.2.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.1.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 + x$ .

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Schritt 4.3.2.1.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.6.1.2

Dividiere $(A) (1 - x)$ durch $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.6.3

Mutltipliziere $A$ mit $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.6.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.6.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 4.3.2.1.6.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.1.6.5.2

Dividiere $(B) (1 + x)$ durch $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Schritt 4.3.2.1.6.6

Wende das Distributivgesetz an.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Schritt 4.3.2.1.6.7

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Schritt 4.3.2.1.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.3.2.1.7.1

Bewege $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Schritt 4.3.2.1.7.2

Stelle $B$ und $x$ um.

$1 = A - x A + B + B x$

Schritt 4.3.2.1.7.3

Bewege $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Schritt 4.3.2.1.7.4

Bewege $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe Gleichungen für die Teilbruchvariablen und benutze sie, um ein Gleichungssystem aufzustellen.

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Schritt 4.3.2.2.1

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten von $x$ jeder Seite der Gleichung. Damit die Gleichung gilt, müssen äquivalente Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$0 = - 1 A + B$

Schritt 4.3.2.2.2

Erzeuge eine Gleichung für die Variablen der Partialbrüche durch Gleichsetzen der Koeffizienten der Terme, die $x$ nicht enthalten. Damit die Gleichung gilt, müssen die äquivalenten Koeffizienten auf jeder Seite der Gleichung gleich sein.

$1 = A + B$

Schritt 4.3.2.2.3

Stelle das Gleichungssystem auf, um die Koeffizienten der Partialbrüche zu ermitteln.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Schritt 4.3.2.3

Löse das Gleichungssystem.

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Schritt 4.3.2.3.1

Löse in $1 = A + B$ nach $A$ auf.

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Schritt 4.3.2.3.1.1

Schreibe die Gleichung als $A + B = 1$ um.

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Schritt 4.3.2.3.1.2

Subtrahiere $B$ von beiden Seiten der Gleichung.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Schritt 4.3.2.3.2

Ersetze alle Vorkommen von $A$ durch $1 - B$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.3.2.3.2.1

Ersetze alle $A$ in $0 = - 1 A + B$ durch $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.3.2.2.1

Vereinfache $- 1 (1 - B) + B$ .

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Schritt 4.3.2.3.2.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.2.3.2.2.1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.2.2.1.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.2.2.1.1.3

Multipliziere $- 1 (- B)$ .

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Schritt 4.3.2.3.2.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.2.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $B$ mit $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.2.2.1.2

Addiere $B$ und $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.3

Löse in $0 = - 1 + 2 B$ nach $B$ auf.

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Schritt 4.3.2.3.3.1

Schreibe die Gleichung als $- 1 + 2 B = 0$ um.

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.3.3

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 1$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 4.3.2.3.3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $2 B = 1$ durch $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.3.2.3.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.2.3.3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.3.3.2.1.2

Dividiere $B$ durch $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Schritt 4.3.2.3.4

Ersetze alle Vorkommen von $B$ durch $\frac{1}{2}$ in jeder Gleichung.

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Schritt 4.3.2.3.4.1

Ersetze alle $B$ in $A = 1 - B$ durch $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.2.3.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.2.3.4.2.1

Vereinfache $1 - (\frac{1}{2})$ .

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Schritt 4.3.2.3.4.2.1.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.2.3.4.2.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.2.3.4.2.1.3

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.2.3.5

Liste alle Lösungen auf.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Schritt 4.3.2.4

Ersetze jeden der Teilbruchkoeffizienten in $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ durch die Werte, die für $A$ und $B$ ermittelt wurden.

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.5

Vereinfache.

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Schritt 4.3.2.5.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.5.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.5.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Schritt 4.3.2.5.4

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{1 - x}$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Schritt 4.3.3

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Schritt 4.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Schritt 4.3.5

Sei $u_{2} = 1 + x$ . Dann ist $d u_{2} = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 4.3.5.1

Es sei $u_{2} = 1 + x$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Schritt 4.3.5.1.1

Differenziere $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Schritt 4.3.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $1 + x$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.5.1.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 4.3.5.1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + 1$

Schritt 4.3.5.1.5

Addiere $0$ und $1$ .

$1$

Schritt 4.3.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Schritt 4.3.6

Das Integral von $\frac{1}{u_{2}}$ nach $u_{2}$ ist $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Schritt 4.3.7

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Schritt 4.3.8

Sei $u_{3} = 1 - x$ . Dann ist $d u_{3} = - d x$ , folglich $- d u_{3} = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u_{3}$ und $d$ $u_{3}$ .

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Schritt 4.3.8.1

Es sei $u_{3} = 1 - x$ . Ermittle $\frac{d u_{3}}{d x}$ .

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Schritt 4.3.8.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 4.3.8.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 4.3.8.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{3}$ und $d u_{3}$ neu.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{3}} d u_{3})$

Schritt 4.3.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{3}} d u_{3})$

Schritt 4.3.10

Da $- 1$ konstant bezüglich $u_{3}$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{3}} d u_{3}))$

Schritt 4.3.11

Das Integral von $\frac{1}{u_{3}}$ nach $u_{3}$ ist $\ln (| u_{3} |)$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{2} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{3} |) + C_{3})))$

Schritt 4.3.12

Vereinfache.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| u_{2} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Schritt 4.3.13

Setze für jede eingesetzte Integrationsvariable neu ein.

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Schritt 4.3.13.1

Ersetze alle $u_{2}$ durch $1 + x$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{3} |)}{2}) + C_{4}$

Schritt 4.3.13.2

Ersetze alle $u_{3}$ durch $1 - x$ .

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C_{4}$

Schritt 4.3.14

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C_{4}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\frac{1}{3} \sin (3 y) = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Vereinfache den Ausdruck in der Gleichung.

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Schritt 5.1.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $\sin (3 y)$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{1}{2} \ln (| 1 + x |) - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

Schritt 5.1.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.1.2.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\ln (| 1 + x |)$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{1}{2} \ln (| 1 - x |)) + C$

Schritt 5.1.2.1.1.2

Kombiniere $\ln (| 1 - x |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Schritt 5.1.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\sin (3 y)}{3} = 7 \frac{\ln (| 1 + x |)}{2} + 7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Schritt 5.1.2.1.3

Kombiniere $7$ und $\frac{\ln (| 1 + x |)}{2}$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} + 7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C$

Schritt 5.1.2.1.4

Multipliziere $7 (- \frac{\ln (| 1 - x |)}{2})$ .

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Schritt 5.1.2.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $7$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - 7 \frac{\ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Schritt 5.1.2.1.4.2

Kombiniere $- 7$ und $\frac{\ln (| 1 - x |)}{2}$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Schritt 5.1.2.1.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$

Schritt 5.2

Multipliziere jeden Term in $\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$ mit $6$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 5.2.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{\sin (3 y)}{3} = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} + C$ mit $6$ .

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot 6 = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot (3 (2)) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Schritt 5.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sin (3 y)}{3} \cdot (3 \cdot 2) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Schritt 5.2.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (3 y) \cdot 2 = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Schritt 5.2.2.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $\sin (3 y)$ .

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot 6 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Schritt 5.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot (2 (3)) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sin (3 y) = \frac{7 \ln (| 1 + x |)}{2} \cdot (2 \cdot 3) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Schritt 5.2.3.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$2 \sin (3 y) = 7 \ln (| 1 + x |) \cdot 3 - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Schritt 5.2.3.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Schritt 5.2.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{7 \ln (| 1 - x |)}{2}$ in den Zähler.

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot 6 + C \cdot 6$

Schritt 5.2.3.1.3.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot (2 (3)) + C \cdot 6$

Schritt 5.2.3.1.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) + \frac{- 7 \ln (| 1 - x |)}{2} \cdot (2 \cdot 3) + C \cdot 6$

Schritt 5.2.3.1.3.4

Forme den Ausdruck um.

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 7 \ln (| 1 - x |) \cdot 3 + C \cdot 6$

Schritt 5.2.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 7$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + C \cdot 6$

Schritt 5.2.3.1.5

Bringe $6$ auf die linke Seite von $C$ .

$2 \sin (3 y) = 21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$

Schritt 5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.1

Vereinfache $21 \ln (| 1 + x |) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$ .

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Schritt 5.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1.1.1

Vereinfache $21 \ln (| 1 + x |)$ , indem du $21$ in den Logarithmus ziehst.

$2 \sin (3 y) = \ln ({| 1 + x |}^{21}) - 21 \ln (| 1 - x |) + 6 C$

Schritt 5.3.1.1.2

Vereinfache $- 21 \ln (| 1 - x |)$ , indem du $21$ in den Logarithmus ziehst.

$2 \sin (3 y) = \ln ({| 1 + x |}^{21}) - \ln ({| 1 - x |}^{21}) + 6 C$

Schritt 5.3.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \sin (3 y) = \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) + 6 C$

Schritt 5.4

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) = - 2 \sin (3 y) + 6 C$

Schritt 5.5

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$- 2 \sin (3 y) + 6 C = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$

Schritt 5.6

Subtrahiere $6 C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$

Schritt 5.7

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$ durch $- 2$ und vereinfache.

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Schritt 5.7.1

Teile jeden Ausdruck in $- 2 \sin (3 y) = - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) - 6 C$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (3 y)}{- 2} = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Schritt 5.7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 2$ .

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Schritt 5.7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 2 \sin (3 y)}{- 2} = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Schritt 5.7.2.1.2

Dividiere $\sin (3 y)$ durch $1$ .

$\sin (3 y) = \frac{- \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{- 2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Schritt 5.7.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.7.3.1.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 6 C}{- 2}$

Schritt 5.7.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $- 2$ .

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Schritt 5.7.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6 C$ heraus.

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2}$

Schritt 5.7.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.7.3.1.2.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 2$ heraus.

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2 (1)}$

Schritt 5.7.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{- 2 (3 C)}{- 2 \cdot 1}$

Schritt 5.7.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + \frac{3 C}{1}$

Schritt 5.7.3.1.2.2.4

Dividiere $3 C$ durch $1$ .

$\sin (3 y) = \frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + 3 C$

Schritt 5.8

Wende den inversen Sinus auf beide Seiten der Gleichung an, um $y$ aus dem Sinus herauszuziehen.

$3 y = \arcsin (\frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2} + 3 C)$

Schritt 5.9

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.9.1.1

Schreibe $\frac{\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}{2}$ als $\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$ um.

$3 y = \arcsin (\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}) + 3 C)$

Schritt 5.9.1.2

Vereinfache $\frac{1}{2} \ln (\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})$ , indem du $\frac{1}{2}$ in den Logarithmus ziehst.

$3 y = \arcsin (\ln ({(\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}})}^{\frac{1}{2}}) + 3 C)$

Schritt 5.9.1.3

Wende die Produktregel auf $\frac{{| 1 + x |}^{21}}{{| 1 - x |}^{21}}$ an.

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{({| 1 + x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

Schritt 5.9.1.4

Multipliziere die Exponenten in ${({| 1 + x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.9.1.4.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{21 (\frac{1}{2})}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

Schritt 5.9.1.4.2

Kombiniere $21$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}}) + 3 C)$

Schritt 5.9.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${({| 1 - x |}^{21})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Schritt 5.9.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{21 (\frac{1}{2})}}) + 3 C)$

Schritt 5.9.1.5.2

Kombiniere $21$ und $\frac{1}{2}$ .

$3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$

Schritt 5.10

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 5.10.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

Schritt 5.10.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.10.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.10.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

Schritt 5.10.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + 3 C)}{3}$

Schritt 6

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{\arcsin (\ln (\frac{{| 1 + x |}^{\frac{21}{2}}}{{| 1 - x |}^{\frac{21}{2}}}) + C)}{3}$