Analysis Beispiele

$d x + 3 x^{2} y^{2} d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 x^{2} y^{2} d y = - d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{2}} (3 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$3 \frac{1}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.2

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 3.3.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} y^{2}$ heraus.

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} (y^{2})) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{x^{2}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$3 y^{2} d y = \frac{1}{x^{2}} \cdot - 1 d x$

Schritt 3.4

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $- 1$ .

$3 y^{2} d y = \frac{- 1}{x^{2}} d x$

Schritt 3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$3 y^{2} d y = - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int 3 y^{2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$3 \int y^{2} d y = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.2.3.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ als $3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ um.

$3 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.2.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{3} y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.2.3.2.3

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y^{3} + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 4.3.2.1

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$y^{3} + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 4.3.2.2

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 4.3.2.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{3} + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 4.3.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y^{3} + C_{1} = - \int x^{- 2} d x$

Schritt 4.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$y^{3} + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2})$

Schritt 4.3.4

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 4.3.4.1

Schreibe $- (- x^{- 1} + C_{2})$ als $- - \frac{1}{x} + C_{2}$ um.

$y^{3} + C_{1} = - - \frac{1}{x} + C_{2}$

Schritt 4.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 4.3.4.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y^{3} + C_{1} = 1 \frac{1}{x} + C_{2}$

Schritt 4.3.4.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $1$ .

$y^{3} + C_{1} = \frac{1}{x} + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y^{3} = \frac{1}{x} + K$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{x} + K}$

Schritt 5.2

Vereinfache $\sqrt[3]{\frac{1}{x} + K}$ .

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Schritt 5.2.1

Um $K$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{x} + \frac{K x}{x}}$

Schritt 5.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{1 + K x}{x}}$

Schritt 5.2.3

Schreibe $\sqrt[3]{\frac{1 + K x}{x}}$ als $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$

Schritt 5.2.4

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Schritt 5.2.5

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.5.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt[3]{1 + K x}}{\sqrt[3]{x}}$ mit $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Schritt 5.2.5.2

Potenziere $\sqrt[3]{x}$ mit $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}$

Schritt 5.2.5.3

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}$

Schritt 5.2.5.4

Addiere $1$ und $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}$

Schritt 5.2.5.5

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ als $x$ um.

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Schritt 5.2.5.5.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x}$ als $x^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Schritt 5.2.5.5.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Schritt 5.2.5.5.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.2.5.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.5.5.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}$

Schritt 5.2.5.5.4.2

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}$

Schritt 5.2.5.5.5

Vereinfache.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}$

Schritt 5.2.6

Schreibe ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ als $\sqrt[3]{x^{2}}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{1 + K x} \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$

Schritt 5.2.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$y = \frac{\sqrt[3]{(1 + K x) x^{2}}}{x}$

Schritt 5.2.8

Stelle die Faktoren in $\frac{\sqrt[3]{(1 + K x) x^{2}}}{x}$ um.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{2} (1 + K x)}}{x}$