Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 5 x^{- \frac{3}{4}}$ , $y (1) = 10$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = 5 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 5 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 5 x^{- \frac{3}{4}} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 5 \int x^{- \frac{3}{4}} d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- \frac{3}{4}}$ nach $x$ gleich $4 x^{\frac{1}{4}}$ .

$y + C_{1} = 5 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $5 (4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2})$ als $5 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = 5 \cdot 4 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $5$ mit $4$ .

$y + C_{1} = 20 x^{\frac{1}{4}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 20 x^{\frac{1}{4}} + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $1$ für $x$ und $10$ für $y$ in $y = 20 x^{\frac{1}{4}} + K$ ersetzt wird.

$10 = 20 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $20 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 10$ um.

$20 \cdot 1^{\frac{1}{4}} + K = 10$

Schritt 4.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$20 \cdot 1 + K = 10$

Schritt 4.2.2

Mutltipliziere $20$ mit $1$ .

$20 + K = 10$

Schritt 4.3

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.3.1

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = 10 - 20$

Schritt 4.3.2

Subtrahiere $20$ von $10$ .

$K = - 10$

Schritt 5

Setze $- 10$ für $K$ in $y = 20 x^{\frac{1}{4}} + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 10$ .

$y = 20 x^{\frac{1}{4}} - 10$