Analysis Beispiele

$3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$

Schritt 1

Nimm an, alle Lösungen haben die Form $y = e^{r t}$ .

Schritt 2

Ermittle die charakteristische Gleichung für $3 \frac{d^{2} y}{d t^{2}} + 4 \frac{d y}{d t} - y = 0$ .

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Schritt 2.1

Bestimme die erste Ableitung.

$\frac{d y}{d t} = r e^{r t}$

Schritt 2.2

Bestimme die zweite Ableitung.

$\frac{d^{2} y}{d t^{2}} = r^{2} e^{r t}$

Schritt 2.3

Setze in die Differentialgleichung ein.

$3 (r^{2} e^{r t}) + 4 (r e^{r t}) - e^{r t} = 0$

Schritt 2.4

Entferne die Klammern.

$3 r^{2} e^{r t} + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

Schritt 2.5

Faktorisiere $e^{r t}$ aus.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $e^{r t}$ aus $3 r^{2} e^{r t}$ heraus.

$e^{r t} (3 r^{2}) + 4 r e^{r t} - e^{r t} = 0$

Schritt 2.5.2

Faktorisiere $e^{r t}$ aus $4 r e^{r t}$ heraus.

$e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r) - e^{r t} = 0$

Schritt 2.5.3

Faktorisiere $e^{r t}$ aus $e^{r t} (3 r^{2}) + e^{r t} (4 r)$ heraus.

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) - e^{r t} = 0$

Schritt 2.5.4

Faktorisiere $e^{r t}$ aus $- e^{r t}$ heraus.

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1 = 0$

Schritt 2.5.5

Faktorisiere $e^{r t}$ aus $e^{r t} (3 r^{2} + 4 r) + e^{r t} \cdot - 1$ heraus.

$e^{r t} (3 r^{2} + 4 r - 1) = 0$

Schritt 2.6

Da Exponentialfunktionen nie null sein können, teile beide Seiten durch $e^{r t}$ .

$3 r^{2} + 4 r - 1 = 0$

Schritt 3

Löse nach $r$ auf.

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Schritt 3.1

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.2

Setze die Werte $a = 3$ , $b = 4$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $r$ auf.

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (3 \cdot - 1)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.3.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.3

Addiere $16$ und $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 3.3.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Schritt 3.4

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.4.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.4.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.4.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.4.1.3

Addiere $16$ und $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.4.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 3.4.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.4.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.4.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Schritt 3.4.4

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$r = \frac{- 2 + \sqrt{7}}{3}$

Schritt 3.4.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$r = \frac{- 1 \cdot 2 + \sqrt{7}}{3}$

Schritt 3.4.6

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{7}$ heraus.

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - 1 (- \sqrt{7})}{3}$

Schritt 3.4.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - 1 (- \sqrt{7})$ heraus.

$r = \frac{- 1 (2 - \sqrt{7})}{3}$

Schritt 3.4.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}$

Schritt 3.5

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.5.1.1

Potenziere $4$ mit $2$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 3 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.2

Multipliziere $- 4 \cdot 3 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.5.1.2.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 12 \cdot - 1}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.2.2

Mutltipliziere $- 12$ mit $- 1$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 12}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.3

Addiere $16$ und $12$ .

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{28}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.4

Schreibe $28$ als $2^{2} \cdot 7$ um.

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Schritt 3.5.1.4.1

Faktorisiere $4$ aus $28$ heraus.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (7)}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.4.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$r = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.1.5

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{2 \cdot 3}$

Schritt 3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$r = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{7}}{6}$ .

$r = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}$

Schritt 3.5.4

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$r = \frac{- 2 - \sqrt{7}}{3}$

Schritt 3.5.5

Schreibe $- 2$ als $- 1 (2)$ um.

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - \sqrt{7}}{3}$

Schritt 3.5.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{7}$ heraus.

$r = \frac{- 1 \cdot 2 - (\sqrt{7})}{3}$

Schritt 3.5.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (2) - (\sqrt{7})$ heraus.

$r = \frac{- 1 (2 + \sqrt{7})}{3}$

Schritt 3.5.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$r = - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

Schritt 3.6

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$r = - \frac{2 - \sqrt{7}}{3}, - \frac{2 + \sqrt{7}}{3}$

Schritt 4

Mit den beiden gefundenen Werten von $r$ lassen sich zwei Lösungen entwickeln.

$y_{1} = e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t}$

$y_{2} = e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Schritt 5

Gemäß dem Überlagerungsprinzip ist die allgemeine Lösung eine Linearkombination von zwei Lösungen für eine homogene lineare Differenzialgleichung zweiter Ordnung.

$y = c_{1} e^{- \frac{2 - \sqrt{7}}{3} t} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Schritt 6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1

Kombiniere $t$ und $\frac{2 - \sqrt{7}}{3}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{2 + \sqrt{7}}{3} t}$

Schritt 6.2

Kombiniere $t$ und $\frac{2 + \sqrt{7}}{3}$ .

$y = c_{1} e^{- \frac{t (2 - \sqrt{7})}{3}} + c_{2} e^{- \frac{t (2 + \sqrt{7})}{3}}$