Analysis Beispiele

$(y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 4 x y^{2}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{1}{y^{2}} (4 x y^{2})$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = 4 \frac{1}{y^{2}} (x y^{2})$

Schritt 1.2.2

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (x y^{2})$

Schritt 1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2}$ heraus.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} x)$

Schritt 1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = \frac{4}{y^{2}} (y^{2} x)$

Schritt 1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2}} ((y^{2} - 1) \frac{d y}{d x}) = 4 x$

Schritt 1.3

Entferne unnötige Klammern.

$\frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) \frac{d y}{d x} = 4 x$

Schritt 1.4

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) d y = 4 x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2}} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.2.1.1

Schreibe $\frac{1}{y^{2}}$ als ${(y^{2})}^{- 1}$ um.

$\int {(y^{2})}^{- 1} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.2.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.1.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\int y^{- 2} (y^{2} - 1) d y = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.2

Multipliziere $y^{- 2} (y^{2} - 1)$ .

$\int y^{- 2} y^{2} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 2.2.3.1

Multipliziere $y^{- 2}$ mit $y^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.2.3.1.1

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\int y^{- 2 + 2} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.3.1.2

Addiere $- 2$ und $2$ .

$\int y^{0} + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.3.2

Vereinfache $y^{0}$ .

$\int 1 + y^{- 2} \cdot - 1 d y = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.3.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $y^{- 2}$ .

$\int 1 - 1 \cdot y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.3.4

Schreibe $- 1 y^{- 2}$ als $- y^{- 2}$ um.

$\int 1 - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.4

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int d y + \int - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.5

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} + \int - y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} - \int y^{- 2} d y = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.7

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{- 2}$ nach $y$ gleich $- y^{- 1}$ .

$y + C_{1} - (- y^{- 1} + C_{2}) = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.8

Vereinfache.

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Schritt 2.2.8.1

Vereinfache.

$y - - \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.8.2

Vereinfache.

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Schritt 2.2.8.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$y + 1 \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

Schritt 2.2.8.2.2

Mutltipliziere $\frac{1}{y}$ mit $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \int 4 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 \int x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$

Schritt 2.3.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 2.3.3.1

Schreibe $4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4})$ als $4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$ um.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 4 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.2.1

Kombiniere $4$ und $\frac{1}{2}$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{4}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = \frac{2}{1} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.3.2.2.2.4

Dividiere $2$ durch $1$ .

$y + \frac{1}{y} + C_{3} = 2 x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.1.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$1, y, 1, 1$

Schritt 3.1.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y$

Schritt 3.2

Multipliziere jeden Term in $y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$ mit $y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.2.1

Multipliziere jeden Term in $y + \frac{1}{y} = 2 x^{2} + K$ mit $y$ .

$y \cdot y + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.2.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

Schritt 3.2.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 3.2.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} + \frac{1}{y} y = 2 x^{2} y + K y$

Schritt 3.2.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} + 1 = 2 x^{2} y + K y$

Schritt 3.3

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$2 x^{2} y + K y = y^{2} + 1$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y + K y - y^{2} = 1$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x^{2} y + K y - y^{2} - 1 = 0$

Schritt 3.3.4

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.3.5

Setze die Werte $a = - 1$ , $b = 2 x^{2} + K$ und $c = - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- (2 x^{2} + K) \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot (- 1 \cdot - 1)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6

Vereinfache.

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Schritt 3.3.6.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.3.6.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- (2 x^{2}) - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.3

Schreibe ${(2 x^{2} + K)}^{2}$ als $(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)$ um.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.4

Multipliziere $(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.6.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2} + K) + K (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2} + K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 x^{2} (2 x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.6.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.6.1.5.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2} x^{2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.5.1.2

Multipliziere $x^{2}$ mit $x^{2}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.3.6.1.5.1.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 (x^{2} x^{2})) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.5.1.2.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{2 + 2}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.5.1.2.3

Addiere $2$ und $2$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{2 \cdot (2 x^{4}) + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.5.1.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + K (2 x^{2}) + K (K) - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.5.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + 2 K x^{2} + K \cdot K - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.5.1.5

Mutltipliziere $K$ mit $K$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 x^{2} K + 2 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.5.2

Addiere $2 x^{2} K$ und $2 K x^{2}$ .

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Schritt 3.3.6.1.5.2.1

Bewege $x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 2 K x^{2} + 2 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.5.2.2

Addiere $2 K x^{2}$ und $2 K x^{2}$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4 \cdot - 1 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.6

Multipliziere $- 4 \cdot - 1 \cdot - 1$ .

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Schritt 3.3.6.1.6.1

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} + 4 \cdot - 1}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.6.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.7

Schreibe $4 x^{4} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 3.3.6.1.7.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.3.6.1.7.1.1

Schreibe $4 x^{4}$ als ${(2 x^{2})}^{2}$ um.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2})}^{2} + 4 K x^{2} + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.7.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$4 K x^{2} = 2 \cdot (2 x^{2}) \cdot K$

Schritt 3.3.6.1.7.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2})}^{2} + 2 \cdot (2 x^{2}) \cdot K + K^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.7.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = 2 x^{2}$ und $b = K$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 4}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.7.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{{(2 x^{2} + K)}^{2} - 2^{2}}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.1.7.3

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = 2 x^{2} + K$ und $b = 2$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2 \cdot - 1}$

Schritt 3.3.6.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{- 2}$

Schritt 3.3.6.3

Vereinfache $\frac{- 2 x^{2} - K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{- 2}$ .

$y = \frac{2 x^{2} + K \pm \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

Schritt 3.3.7

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K + 2) (2 x^{2} + K - 2)}}{2}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \frac{2 x^{2} + K + \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)}}{2}$

$y = \frac{2 x^{2} + K - \sqrt{(2 x^{2} + K) (2 x^{2} + K)}}{2}$