Analysis Beispiele

$\frac{d v}{d t} = 16 t - \sec^{2} (t)$ , $v (π) = - 3$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d v = (16 t - \sec^{2} (t)) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d v = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$v + C_{1} = \int 16 t - \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$v + C_{1} = \int 16 t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.2

Da $16$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $16$ aus dem Integral.

$v + C_{1} = 16 \int t d t + \int - \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $t$ nach $t$ gleich $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int - \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - \int \sec^{2} (t) d t$

Schritt 2.3.5

Da die Ableitung von $\tan (t)$ gleich $\sec^{2} (t)$ ist, ist das Integral von $\sec^{2} (t)$ gleich $\tan (t)$ .

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) - (\tan (t) + C_{3})$

Schritt 2.3.6

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.1

Vereinfache.

$v + C_{1} = 16 (\frac{1}{2}) t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.6.2.1

Kombiniere $16$ und $\frac{1}{2}$ .

$v + C_{1} = \frac{16}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $16$ und $2$ .

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Schritt 2.3.6.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $16$ heraus.

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.6.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 (1)} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v + C_{1} = \frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$v + C_{1} = \frac{8}{1} t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Schritt 2.3.6.2.2.2.4

Dividiere $8$ durch $1$ .

$v + C_{1} = 8 t^{2} - \tan (t) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $π$ für $t$ und $- 3$ für $v$ in $v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ ersetzt wird.

$- 3 = 8 π^{2} - \tan (π) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$ um.

$8 π^{2} - \tan (π) + K = - 3$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $8 π^{2} - \tan (π) + K$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Wende den Referenzwinkel an, indem du den Winkel mit den entsprechenden trigonometrischen Werten im ersten Quadranten findest. Kehre das Vorzeichen des Ausdrucks um, da der Tangens im zweiten Quadranten negativ ist.

$8 π^{2} - - \tan (0) + K = - 3$

Schritt 4.2.1.1.2

Der genau Wert von $\tan (0)$ ist $0$ .

$8 π^{2} - - 0 + K = - 3$

Schritt 4.2.1.1.3

Multipliziere $- - 0$ .

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Schritt 4.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$8 π^{2} - 0 + K = - 3$

Schritt 4.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $0$ .

$8 π^{2} + 0 + K = - 3$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $8 π^{2}$ und $0$ .

$8 π^{2} + K = - 3$

Schritt 4.3

Subtrahiere $8 π^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$K = - 3 - 8 π^{2}$

Schritt 5

Setze $- 3 - 8 π^{2}$ für $K$ in $v = 8 t^{2} - \tan (t) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $- 3 - 8 π^{2}$ .

$v = 8 t^{2} - \tan (t) - 3 - 8 π^{2}$