Analysis Beispiele

$(y^{2} + 1) d x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(y^{2} + 1) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$(x^{2} + 1) d y = - (y^{2} + 1) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (- (y^{2} + 1)) d x$

Schritt 3.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Schritt 3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)}$ in den Zähler.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Schritt 3.3.2

Faktorisiere $y^{2} + 1$ aus $(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)$ heraus.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Schritt 3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 1) (x^{2} + 1)} (y^{2} + 1) d x$

Schritt 3.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = \frac{- 1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{y^{2} + 1} d y = - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y^{2} + 1} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.2.1.1

Stelle $y^{2}$ und $1$ um.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.2.1.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.2.2

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ nach $y$ ist $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 4.3.2

Vereinfache den Ausdruck.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.3.2.1

Stelle $x^{2}$ und $1$ um.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Schritt 4.3.2.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$\arctan (y) + C_{1} = - \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Schritt 4.3.3

Das Integral von $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = - (\arctan (x) + C_{2})$

Schritt 4.3.4

Vereinfache.

$\arctan (y) + C_{1} = - \arctan (x) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Schreibe die Gleichung als $- \arctan (x) + K = \arctan (y)$ um.

$- \arctan (x) + K = \arctan (y)$

Schritt 5.2

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \arctan (x) = \arctan (y) - K$

Schritt 5.3

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (x) = \arctan (y) - K$ durch $- 1$ .

$\frac{- \arctan (x)}{- 1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\arctan (x)}{1} = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.3.2.2

Dividiere $\arctan (x)$ durch $1$ .

$\arctan (x) = \frac{\arctan (y)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\arctan (y)}{- 1}$ .

$\arctan (x) = - 1 \cdot \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.3.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \arctan (y)$ als $- \arctan (y)$ um.

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.3.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\arctan (x) = - \arctan (y) + \frac{K}{1}$

Schritt 5.3.3.1.4

Dividiere $K$ durch $1$ .

$\arctan (x) = - \arctan (y) + K$

Schritt 5.4

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$x = \tan (- \arctan (y) + K)$

Schritt 5.5

Schreibe die Gleichung als $\tan (- \arctan (y) + K) = x$ um.

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

Schritt 5.6

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $\arctan (y)$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

Schritt 5.7

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

Schritt 5.8

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.1

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ durch $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.8.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.8.2.2

Dividiere $\arctan (y)$ durch $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.8.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.8.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.8.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \arctan (x)$ als $- \arctan (x)$ um.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.8.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

Schritt 5.8.3.1.4

Dividiere $K$ durch $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Schritt 5.9

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$

Schritt 5.10

Da $y$ auf der rechten Seite der Gleichung ist, vertausche die Seiten, sodass es auf der linken Seite ist.

$\tan (- \arctan (y) + K) = x$

Schritt 5.11

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $\arctan (y)$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$- \arctan (y) + K = \arctan (x)$

Schritt 5.12

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \arctan (y) = \arctan (x) - K$

Schritt 5.13

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ durch $- 1$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.13.1

Teile jeden Ausdruck in $- \arctan (y) = \arctan (x) - K$ durch $- 1$ .

$\frac{- \arctan (y)}{- 1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.13.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.13.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{\arctan (y)}{1} = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.13.2.2

Dividiere $\arctan (y)$ durch $1$ .

$\arctan (y) = \frac{\arctan (x)}{- 1} + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.13.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.13.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.13.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{\arctan (x)}{- 1}$ .

$\arctan (y) = - 1 \cdot \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.13.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot \arctan (x)$ als $- \arctan (x)$ um.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{- K}{- 1}$

Schritt 5.13.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\arctan (y) = - \arctan (x) + \frac{K}{1}$

Schritt 5.13.3.1.4

Dividiere $K$ durch $1$ .

$\arctan (y) = - \arctan (x) + K$

Schritt 5.14

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$y = \tan (- \arctan (x) + K)$