Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = 12 \sin^{2} (x) \cos (x)$ , $y (0) = 4$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 12 \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $12$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $12$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 12 \int \sin^{2} (x) \cos (x) d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = \sin (x)$ . Dann ist $d u = \cos (x) d x$ , folglich $\frac{1}{\cos (x)} d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = \sin (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $\sin (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Schritt 2.3.2.1.2

Die Ableitung von $\sin (x)$ nach $x$ ist $\cos (x)$ .

$\cos (x)$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = 12 \int u^{2} d u$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{2}$ nach $u$ gleich $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Schreibe $12 (\frac{1}{3} u^{3} + C_{2})$ als $12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$ um.

$y + C_{1} = 12 (\frac{1}{3}) u^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.2.1

Kombiniere $12$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{12}{3} u^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $12$ und $3$ .

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Schritt 2.3.4.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $12$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} u^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.4.2.2.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} u^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} u^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} u^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.4.2.2.2.4

Dividiere $4$ durch $1$ .

$y + C_{1} = 4 u^{3} + C_{2}$

Schritt 2.3.5

Ersetze alle $u$ durch $\sin (x)$ .

$y + C_{1} = 4 \sin^{3} (x) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = 4 \sin^{3} (x) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $4$ für $y$ in $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ ersetzt wird.

$4 = 4 \sin^{3} (0) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $4 \sin^{3} (0) + K = 4$ um.

$4 \sin^{3} (0) + K = 4$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache $4 \sin^{3} (0) + K$ .

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Der genau Wert von $\sin (0)$ ist $0$ .

$4 \cdot 0^{3} + K = 4$

Schritt 4.2.1.1.2

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$4 \cdot 0 + K = 4$

Schritt 4.2.1.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $0$ .

$0 + K = 4$

Schritt 4.2.1.2

Addiere $0$ und $K$ .

$K = 4$

Schritt 5

Setze $4$ für $K$ in $y = 4 \sin^{3} (x) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $4$ .

$y = 4 \sin^{3} (x) + 4$