Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{6 x^{5} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\cos (y) + e^{y}$ .

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (\cos (y) + e^{y}) \frac{6 x^{5} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\cos (y) + e^{y}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = (\cos (y) + e^{y}) \frac{6 x^{5} - 2 x + 1}{\cos (y) + e^{y}}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(\cos (y) + e^{y}) \frac{d y}{d x} = 6 x^{5} - 2 x + 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(\cos (y) + e^{y}) d y = (6 x^{5} - 2 x + 1) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \cos (y) + e^{y} d y = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int \cos (y) d y + \int e^{y} d y = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Schritt 2.2.2

Das Integral von $\cos (y)$ nach $y$ ist $\sin (y)$ .

$\sin (y) + C_{1} + \int e^{y} d y = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Schritt 2.2.3

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$\sin (y) + C_{1} + e^{y} + C_{2} = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$\sin (y) + e^{y} + C_{3} = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Schritt 2.2.5

Stelle die Terme um.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = \int 6 x^{5} - 2 x + 1 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = \int 6 x^{5} d x + \int - 2 x d x + \int d x$

Schritt 2.3.2

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 \int x^{5} d x + \int - 2 x d x + \int d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{5}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) + \int - 2 x d x + \int d x$

Schritt 2.3.4

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) - 2 \int x d x + \int d x$

Schritt 2.3.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + \int d x$

Schritt 2.3.6

Wende die Konstantenregel an.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{1}{6} x^{6} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1.1

Kombiniere $\frac{1}{6}$ und $x^{6}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{x^{6}}{6} + C_{4}) - 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

Schritt 2.3.7.1.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = 6 (\frac{x^{6}}{6} + C_{4}) - 2 (\frac{x^{2}}{2} + C_{5}) + x + C_{6}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

$e^{y} + \sin (y) + C_{3} = x^{6} - x^{2} + x + C_{7}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$e^{y} + \sin (y) = x^{6} - x^{2} + x + K$