Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d t} = 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 125)$ , $y (\ln (5)) = 0$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 125) d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 125) d t$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int 3 e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 125) d t$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 3 \int e^{3 t} \sin (e^{3 t} - 125) d t$

Schritt 2.3.2

Sei $u_{2} = e^{3 t} - 125$ . Dann ist $d u_{2} = 3 e^{3 t} d t$ , folglich $\frac{1}{3} d u_{2} = e^{3 t} d t$ . Forme um unter Verwendung von $u_{2}$ und $d$ $u_{2}$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u_{2} = e^{3 t} - 125$ . Ermittle $\frac{d u_{2}}{d t}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $e^{3 t} - 125$ .

$\frac{d}{d t} [e^{3 t} - 125]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{3 t} - 125$ nach $t$ $\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 125]$ .

$\frac{d}{d t} [e^{3 t}] + \frac{d}{d t} [- 125]$

Schritt 2.3.2.1.3

Berechne $\frac{d}{d t} [e^{3 t}]$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ ist $f' (g (t)) g' (t)$ , mit $f (t) = e^{t}$ und $g (t) = 3 t$ .

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Schritt 2.3.2.1.3.1.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u_{1}$ durch $3 t$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 125]$

Schritt 2.3.2.1.3.1.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ gleich $a^{u_{1}} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 125]$

Schritt 2.3.2.1.3.1.3

Ersetze alle $u_{1}$ durch $3 t$ .

$e^{3 t} \frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 125]$

Schritt 2.3.2.1.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $3 t$ nach $t$ gleich $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$e^{3 t} (3 \frac{d}{d t} [t]) + \frac{d}{d t} [- 125]$

Schritt 2.3.2.1.3.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ gleich $n t^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$e^{3 t} (3 \cdot 1) + \frac{d}{d t} [- 125]$

Schritt 2.3.2.1.3.4

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$e^{3 t} \cdot 3 + \frac{d}{d t} [- 125]$

Schritt 2.3.2.1.3.5

Bringe $3$ auf die linke Seite von $e^{3 t}$ .

$3 e^{3 t} + \frac{d}{d t} [- 125]$

Schritt 2.3.2.1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 2.3.2.1.4.1

Da $- 125$ konstant bezüglich $t$ ist, ist die Ableitung von $- 125$ bezüglich $t$ gleich $0$ .

$3 e^{3 t} + 0$

Schritt 2.3.2.1.4.2

Addiere $3 e^{3 t}$ und $0$ .

$3 e^{3 t}$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u_{2}$ und $d u_{2}$ neu.

$y + C_{1} = 3 \int \sin (u_{2}) \frac{1}{3} d u_{2}$

Schritt 2.3.3

Kombiniere $\sin (u_{2})$ und $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 3 \int \frac{\sin (u_{2})}{3} d u_{2}$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{3}$ konstant bezüglich $u_{2}$ ist, ziehe $\frac{1}{3}$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 3 (\frac{1}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$y + C_{1} = \frac{3}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 2.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{3}{3} \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = 1 \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.5.3

Mutltipliziere $\int \sin (u_{2}) d u_{2}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \int \sin (u_{2}) d u_{2}$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $\sin (u_{2})$ nach $u_{2}$ ist $- \cos (u_{2})$ .

$y + C_{1} = - \cos (u_{2}) + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Ersetze alle $u_{2}$ durch $e^{3 t} - 125$ .

$y + C_{1} = - \cos (e^{3 t} - 125) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - \cos (e^{3 t} - 125) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $\ln (5)$ für $t$ und $0$ für $y$ in $y = - \cos (e^{3 t} - 125) + K$ ersetzt wird.

$0 = - \cos (e^{3 \ln (5)} - 125) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- \cos (e^{3 \ln (5)} - 125) + K = 0$ um.

$- \cos (e^{3 \ln (5)} - 125) + K = 0$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1.1

Vereinfache $3 \ln (5)$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$- \cos (e^{\ln (5^{3})} - 125) + K = 0$

Schritt 4.2.1.1.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$- \cos (5^{3} - 125) + K = 0$

Schritt 4.2.1.1.3

Potenziere $5$ mit $3$ .

$- \cos (125 - 125) + K = 0$

Schritt 4.2.1.2

Subtrahiere $125$ von $125$ .

$- \cos (0) + K = 0$

Schritt 4.2.1.3

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = 0$

Schritt 4.2.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + K = 0$

Schritt 4.3

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = 1$

Schritt 5

Setze $1$ für $K$ in $y = - \cos (e^{3 t} - 125) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $1$ .

$y = - \cos (e^{3 t} - 125) + 1$