Analysis Beispiele

$2 x y \frac{d y}{d x} - y^{2} + x^{2} = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung als eine Funktion von $\frac{y}{x}$ um.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d y}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 1.1.1.1

Addiere $y^{2}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y \frac{d y}{d x} + x^{2} = y^{2}$

Schritt 1.1.1.2

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$ durch $2 x y$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 x y \frac{d y}{d x} = y^{2} - x^{2}$ durch $2 x y$ .

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x y \frac{d y}{d x}}{2 x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y \frac{d y}{d x}}{x y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.2.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2}}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $y^{2}$ und $y$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{2 x y} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $y$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot y}{y (2 x)} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{- x^{2}}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x^{2}$ und $x$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $- x^{2}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{2 x y}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.2.2.1

Faktorisiere $x$ aus $2 x y$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{x (- x)}{x (2 y)}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} + \frac{- x}{2 y}$

Schritt 1.1.2.3.1.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 x} - \frac{x}{2 y}$

Schritt 1.2

Klammere $\frac{y}{x}$ von $\frac{y}{2 x}$ aus.

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Schritt 1.2.1

Faktorisiere $\frac{y}{x}$ aus $\frac{y}{2 x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x} \cdot \frac{1}{2} - \frac{x}{2 y}$

Schritt 1.2.2

Stelle $\frac{y}{x}$ und $\frac{1}{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - \frac{x}{2 y}$

Schritt 1.3

Schreibe die Differentialgleichung als $f (\frac{y}{x})$ um.

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Schritt 1.3.1

Klammere $\frac{x}{y}$ von $\frac{x}{2 y}$ aus.

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Schritt 1.3.1.1

Faktorisiere $\frac{x}{y}$ aus $\frac{x}{2 y}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{x}{y} \cdot \frac{1}{2})$

Schritt 1.3.1.2

Stelle $\frac{x}{y}$ und $\frac{1}{2}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{2} \cdot \frac{x}{y})$

Schritt 1.3.2

Schreibe $\frac{x}{y}$ als ${(\frac{y}{x})}^{- 1}$ um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} \cdot \frac{y}{x} - (\frac{1}{2} {(\frac{y}{x})}^{- 1})$

Schritt 2

Es gilt $V = \frac{y}{x}$ . Ersetze $V$ für $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2} V - (\frac{1}{2} V^{- 1})$

Schritt 3

Löse $V = \frac{y}{x}$ nach $y$ auf.

$y = V x$

Schritt 4

Verwende die Produktregel um die Ableitung von $y = V x$ nach $x$ zu finden.

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Schritt 5

Ersetze $\frac{d y}{d x}$ durch $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{1}{2} V - (\frac{1}{2} V^{- 1})$

Schritt 6

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 6.1

Separiere die Variablen.

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Schritt 6.1.1

Löse nach $\frac{d V}{d x}$ auf.

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Schritt 6.1.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2} V^{- 1}$

Schritt 6.1.1.1.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{V}$

Schritt 6.1.1.1.3

Mutltipliziere $\frac{1}{V}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{V \cdot 2}$

Schritt 6.1.1.1.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V}$

Schritt 6.1.1.2

Subtrahiere $V$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$

Schritt 6.1.1.3

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.1.1.3.1

Teile jeden Ausdruck in $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V$ durch $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.1.1.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.2.1.2

Dividiere $\frac{d V}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2}}{x} + \frac{- \frac{1}{2 V}}{x} + \frac{- V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.1.1.3.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{2} - \frac{1}{2 V} - V}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.2

Um $- V$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} - V \cdot \frac{2}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 6.1.1.3.3.3.1

Kombiniere $- V$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V}{2} + \frac{- V \cdot 2}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V - V \cdot 2}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.1

Faktorisiere $V$ aus $V - V \cdot 2$ heraus.

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Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.1.1

Potenziere $V$ mit $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V^{1} - V \cdot 2}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.1.2

Faktorisiere $V$ aus $V^{1}$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 - V \cdot 2}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.1.3

Faktorisiere $V$ aus $- V \cdot 2$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.1.4

Faktorisiere $V$ aus $V \cdot 1 + V (- 1 \cdot 2)$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 1 \cdot 2)}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V (1 - 2)}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.1.3

Subtrahiere $2$ von $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{V \cdot - 1}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} + \frac{- 1 \cdot V}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 6.1.1.3.3.4.1

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{1}{2 V} - \frac{V}{2}$ heraus.

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Schritt 6.1.1.3.3.4.1.1

Stelle $- \frac{1}{2 V}$ und $- \frac{V}{2}$ um.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V}{2} - \frac{1}{2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.1.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{V}{2}$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2}) - \frac{1}{2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.1.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- \frac{1}{2 V}$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2}) - (\frac{1}{2 V})}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.1.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (\frac{V}{2}) - (\frac{1}{2 V})$ heraus.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2} + \frac{1}{2 V})}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.2

Um $\frac{V}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V}{2} \cdot \frac{V}{V} + \frac{1}{2 V})}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.3

Mutltipliziere $\frac{V}{2}$ mit $\frac{V}{V}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (\frac{V \cdot V}{2 V} + \frac{1}{2 V})}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V \cdot V + 1}{2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.4.5

Mutltipliziere $V$ mit $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{2} + 1}{2 V}}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.1.3.3.6

Mutltipliziere $\frac{1}{x}$ mit $\frac{V^{2} + 1}{2 V}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{x (2 V)}$

Schritt 6.1.1.3.3.7

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 x V}$

Schritt 6.1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.3

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{2 V}{V^{2} + 1}$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V}{V^{2} + 1} (- \frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4

Vereinfache.

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Schritt 6.1.4.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{V^{2} + 1} (\frac{V^{2} + 1}{2 V} \cdot \frac{1}{x})$

Schritt 6.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{V^{2} + 1}{2 V}$ mit $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{2 V}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Schritt 6.1.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 V$ .

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Schritt 6.1.4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 V}{V^{2} + 1}$ in den Zähler.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 2 V}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Schritt 6.1.4.3.2

Faktorisiere $2 V$ aus $- 2 V$ heraus.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (- 1)}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Schritt 6.1.4.3.3

Faktorisiere $2 V$ aus $2 V x$ heraus.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V (- 1)}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V (x)}$

Schritt 6.1.4.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{2 V \cdot - 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{2 V x}$

Schritt 6.1.4.3.5

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Schritt 6.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $V^{2} + 1$ .

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Schritt 6.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{2} + 1} \cdot \frac{V^{2} + 1}{x}$

Schritt 6.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Schritt 6.1.5

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{2 V}{V^{2} + 1} d V = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 6.2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{2 V}{V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 6.2.2.1

Da $2$ konstant bezüglich $V$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$2 \int \frac{V}{V^{2} + 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.2

Sei $u = V^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 V d V$ , folglich $\frac{1}{2} d u = V d V$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.2.2.1

Es sei $u = V^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d V}$ .

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Schritt 6.2.2.2.1.1

Differenziere $V^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2} + 1]$

Schritt 6.2.2.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $V^{2} + 1$ nach $V$ $\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$ .

$\frac{d}{d V} [V^{2}] + \frac{d}{d V} [1]$

Schritt 6.2.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d V} [V^{n}]$ gleich $n V^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 V + \frac{d}{d V} [1]$

Schritt 6.2.2.2.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $V$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $V$ gleich $0$ .

$2 V + 0$

Schritt 6.2.2.2.1.5

Addiere $2 V$ und $0$ .

$2 V$

Schritt 6.2.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$2 \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5

Vereinfache.

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Schritt 6.2.2.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.2.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$1 \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.5.3

Mutltipliziere $\int \frac{1}{u} d u$ mit $1$ .

$\int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.2.7

Ersetze alle $u$ durch $V^{2} + 1$ .

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.2.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 6.2.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 6.2.3.3

Vereinfache.

$\ln (| V^{2} + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 6.2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| V^{2} + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 6.3

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.1

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| V^{2} + 1 |) + \ln (| x |) = C$

Schritt 6.3.2

Wende die Produktregel für Logarithmen an, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| V^{2} + 1 | | x |) = C$

Schritt 6.3.3

Um Absolutwerte zu multiplizieren, multipliziere die Terme innerhalb jedes Absolutwerts.

$\ln (| (V^{2} + 1) x |) = C$

Schritt 6.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| V^{2} x + 1 x |) = C$

Schritt 6.3.5

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\ln (| V^{2} x + x |) = C$

Schritt 6.3.6

Um nach $V$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| V^{2} x + x |)} = e^{C}$

Schritt 6.3.7

Schreibe $\ln (| V^{2} x + x |) = C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{C} = | V^{2} x + x |$

Schritt 6.3.8

Löse nach $V$ auf.

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Schritt 6.3.8.1

Schreibe die Gleichung als $| V^{2} x + x | = e^{C}$ um.

$| V^{2} x + x | = e^{C}$

Schritt 6.3.8.2

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$V^{2} x + x = \pm e^{C}$

Schritt 6.3.8.3

Subtrahiere $x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$V^{2} x = \pm e^{C} - x$

Schritt 6.3.8.4

Teile jeden Ausdruck in $V^{2} x = \pm e^{C} - x$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 6.3.8.4.1

Teile jeden Ausdruck in $V^{2} x = \pm e^{C} - x$ durch $x$ .

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 6.3.8.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.8.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.3.8.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{V^{2} x}{x} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 6.3.8.4.2.1.2

Dividiere $V^{2}$ durch $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 6.3.8.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.8.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 6.3.8.4.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}$

Schritt 6.3.8.4.3.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$V^{2} = \frac{\pm e^{C}}{x} - 1$

Schritt 6.3.8.5

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$

Schritt 6.3.8.6

Vereinfache $\pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1}$ .

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Schritt 6.3.8.6.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}$

Schritt 6.3.8.6.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x}{x}$ .

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C}}{x} + \frac{- x}{x}}$

Schritt 6.3.8.6.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$V = \pm \sqrt{\frac{\pm e^{C} - x}{x}}$

Schritt 6.3.8.6.4

Schreibe $\sqrt{\frac{\pm e^{C} - x}{x}}$ als $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ um.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$

Schritt 6.3.8.6.5

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Schritt 6.3.8.6.6

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 6.3.8.6.6.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{\pm e^{C} - x}}{\sqrt{x}}$ mit $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Schritt 6.3.8.6.6.2

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Schritt 6.3.8.6.6.3

Potenziere $\sqrt{x}$ mit $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Schritt 6.3.8.6.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Schritt 6.3.8.6.6.5

Addiere $1$ und $1$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Schritt 6.3.8.6.6.6

Schreibe ${\sqrt{x}}^{2}$ als $x$ um.

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Schritt 6.3.8.6.6.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x}$ als $x^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 6.3.8.6.6.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 6.3.8.6.6.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.8.6.6.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 6.3.8.6.6.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 6.3.8.6.6.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x^{1}}$

Schritt 6.3.8.6.6.6.5

Vereinfache.

$V = \pm \frac{\sqrt{\pm e^{C} - x} \sqrt{x}}{x}$

Schritt 6.3.8.6.7

Kombiniere unter Anwendung der Produktregel für das Wurzelziehen.

$V = \pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} - x) x}}{x}$

Schritt 6.3.8.6.8

Stelle die Faktoren in $\pm \frac{\sqrt{(\pm e^{C} - x) x}}{x}$ um.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (\pm e^{C} - x)}}{x}$

Schritt 6.4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$V = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$

Schritt 7

Ersetze $V$ durch $\frac{y}{x}$ .

$\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$

Schritt 8

Löse $\frac{y}{x} = \pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}$ nach $y$ auf.

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Schritt 8.1

Multipliziere beide Seiten mit $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$

Schritt 8.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 8.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y}{x} x = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$

Schritt 8.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y = (\pm \frac{\sqrt{x (C - x)}}{x}) x$