Analysis Beispiele

$6 x - 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = 0$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Löse nach $\frac{d y}{d x}$ auf.

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Schritt 1.1.1

Subtrahiere $6 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 6 x$

Schritt 1.1.2

Teile jeden Ausdruck in $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 6 x$ durch $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}$ und vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = - 6 x$ durch $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 6 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1.1.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 1.1.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 6 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1.1.2.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 6 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1.1.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.1.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{y \sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 6 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1.1.2.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 6 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1.1.2.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

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Schritt 1.1.2.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\sqrt{x^{2} + 1} \frac{d y}{d x}}{\sqrt{x^{2} + 1}} = \frac{- 6 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1.1.2.2.3.2

Dividiere $\frac{d y}{d x}$ durch $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 6 x}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1.1.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 6$ und $- 8$ .

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Schritt 1.1.2.3.1.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 6 x$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 (3 x)}{- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1.1.2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.2.3.1.2.1

Faktorisiere $- 2$ aus $- 8 y \sqrt{x^{2} + 1}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 (3 x)}{- 2 (4 y \sqrt{x^{2} + 1})}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{- 2 (3 x)}{- 2 (4 y \sqrt{x^{2} + 1})}$

Schritt 1.1.2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{4 y \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1.1.2.3.2

Mutltipliziere $\frac{3 x}{4 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x}{4 y \sqrt{x^{2} + 1}} \cdot \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1.1.2.3.3

Vereinige und vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.1.2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{3 x}{4 y \sqrt{x^{2} + 1}}$ mit $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{\sqrt{x^{2} + 1}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y \sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1}}$

Schritt 1.1.2.3.3.2

Bewege $\sqrt{x^{2} + 1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y (\sqrt{x^{2} + 1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

Schritt 1.1.2.3.3.3

Potenziere $\sqrt{x^{2} + 1}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} \sqrt{x^{2} + 1})}$

Schritt 1.1.2.3.3.4

Potenziere $\sqrt{x^{2} + 1}$ mit $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y ({\sqrt{x^{2} + 1}}^{1} {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1})}$

Schritt 1.1.2.3.3.5

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{1 + 1}}$

Schritt 1.1.2.3.3.6

Addiere $1$ und $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y {\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.3.7

Schreibe ${\sqrt{x^{2} + 1}}^{2}$ als $x^{2} + 1$ um.

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Schritt 1.1.2.3.3.7.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x^{2} + 1}$ als ${(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y {({(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 1.1.2.3.3.7.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 1.1.2.3.3.7.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.1.2.3.3.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.1.2.3.3.7.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y {(x^{2} + 1)}^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 1.1.2.3.3.7.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y {(x^{2} + 1)}^{1}}$

Schritt 1.1.2.3.3.7.5

Vereinfache.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 y (x^{2} + 1)}$

Schritt 1.2

Ordne die Faktoren neu an.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y}$

Schritt 1.3

Multipliziere beide Seiten mit $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (\frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 (x^{2} + 1)} \cdot \frac{1}{y})$

Schritt 1.4

Vereinfache.

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Schritt 1.4.1

Kombinieren.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{4 (x^{2} + 1) y}$

Schritt 1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.4.2.1

Faktorisiere $y$ aus $4 (x^{2} + 1) y$ heraus.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (4 (x^{2} + 1))}$

Schritt 1.4.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y \frac{d y}{d x} = y \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{y (4 (x^{2} + 1))}$

Schritt 1.4.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1} \cdot 1}{4 (x^{2} + 1)}$

Schritt 1.4.3

Mutltipliziere $3$ mit $1$ .

$y \frac{d y}{d x} = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 (x^{2} + 1)}$

Schritt 1.5

Schreibe die Gleichung um.

$y d y = \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 (x^{2} + 1)} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y d y = \int \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 (x^{2} + 1)} d x$

Schritt 2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{3 x \sqrt{x^{2} + 1}}{4 (x^{2} + 1)} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $\frac{3}{4}$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{3}{4}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{x \sqrt{x^{2} + 1}}{x^{2} + 1} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = x^{2} + 1$ . Dann ist $d u = 2 x d x$ , folglich $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = x^{2} + 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Differenziere $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Schritt 2.3.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x^{2} + 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Schritt 2.3.2.1.4

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$2 x + 0$

Schritt 2.3.2.1.5

Addiere $2 x$ und $0$ .

$2 x$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{\sqrt{u}}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Schritt 2.3.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\sqrt{u}}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{\sqrt{u}}{u \cdot 2} d u$

Schritt 2.3.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{4} \int \frac{\sqrt{u}}{2 u} d u$

Schritt 2.3.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u)$

Schritt 2.3.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1.1

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{3}{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{2 \cdot 4} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Schritt 2.3.5.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $4$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int \frac{\sqrt{u}}{u} d u$

Schritt 2.3.5.2

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{u}$ als $u^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int \frac{u^{\frac{1}{2}}}{u} d u$

Schritt 2.3.5.3

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.3.1

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int \frac{1}{u \cdot u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.5.3.2

Multipliziere $u$ mit $u^{- \frac{1}{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.3.5.3.2.1

Mutltipliziere $u$ mit $u^{- \frac{1}{2}}$ .

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Schritt 2.3.5.3.2.1.1

Potenziere $u$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int \frac{1}{u^{1} u^{- \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.5.3.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int \frac{1}{u^{1 - \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.5.3.2.2

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.5.3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{2 - 1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.5.3.2.4

Subtrahiere $1$ von $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u$

Schritt 2.3.5.4

Wende die grundlegenden Potenzregeln an.

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Schritt 2.3.5.4.1

Bringe $u^{\frac{1}{2}}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u$

Schritt 2.3.5.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Schritt 2.3.5.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u$

Schritt 2.3.5.4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u$

Schritt 2.3.5.4.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \int u^{- \frac{1}{2}} d u$

Schritt 2.3.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{- \frac{1}{2}}$ nach $u$ gleich $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.1

Schreibe $\frac{3}{8} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ als $\frac{3}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{8} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.7.2.1

Kombiniere $\frac{3}{8}$ und $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3 \cdot 2}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{6}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $8$ .

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Schritt 2.3.7.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 (3)}{8} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.7.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.7.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{4} u^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $x^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{3}{4} {(x^{2} + 1)}^{\frac{1}{2}} + K$