Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{2}{5 - x}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \frac{2}{5 - x} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \frac{2}{5 - x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \frac{2}{5 - x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{1}{5 - x} d x$

Schritt 2.3.2

Sei $u = 5 - x$ . Dann ist $d u = - d x$ , folglich $- d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.2.1

Es sei $u = 5 - x$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.2.1.1

Forme um.

$\frac{- 1}{1}$

Schritt 2.3.2.1.2

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$- 1$

Schritt 2.3.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = 2 \int \frac{- 1}{u} d u$

Schritt 2.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y + C_{1} = 2 \int - \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = 2 (- \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y + C_{1} = - 2 \int \frac{1}{u} d u$

Schritt 2.3.6

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Schritt 2.3.7

Vereinfache.

$y + C_{1} = - 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Schritt 2.3.8

Ersetze alle $u$ durch $5 - x$ .

$y + C_{1} = - 2 \ln (| 5 - x |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = - 2 \ln (| 5 - x |) + C$