Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} - 2 x y = 3 x^{2} e^{x^{2}}$

Schritt 1

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - 2 x$ gilt.

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Schritt 1.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - 2 x d x}$

Schritt 1.2

Integriere $- 2 x$ .

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Schritt 1.2.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$e^{- 2 \int x d x}$

Schritt 1.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$e^{- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)}$

Schritt 1.2.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 1.2.3.1

Schreibe $- 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$e^{- 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.3.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$e^{\frac{- 2}{2} x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e^{\frac{- 1}{1} x^{2} + C}$

Schritt 1.2.3.2.2.2.4

Dividiere $- 1$ durch $1$ .

$e^{- x^{2} + C}$

Schritt 1.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- x^{2}}$

Schritt 2

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x^{2}}$ .

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Schritt 2.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} + e^{- x^{2}} (- 2 x y) = e^{- x^{2}} (3 x^{2} e^{x^{2}})$

Schritt 2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = e^{- x^{2}} (3 x^{2} e^{x^{2}})$

Schritt 2.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{- x^{2}} (x^{2} e^{x^{2}})$

Schritt 2.4

Multipliziere $e^{- x^{2}}$ mit $e^{x^{2}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 2.4.1

Bewege $e^{x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 (e^{x^{2}} e^{- x^{2}}) x^{2}$

Schritt 2.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{x^{2} - x^{2}} x^{2}$

Schritt 2.4.3

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 e^{0} x^{2}$

Schritt 2.5

Vereinfache $3 e^{0} x^{2}$ .

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 x^{2}$

Schritt 2.6

Stelle die Faktoren in $e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 e^{- x^{2}} (x y) = 3 x^{2}$ um.

$e^{- x^{2}} \frac{d y}{d x} - 2 x y e^{- x^{2}} = 3 x^{2}$

Schritt 3

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] = 3 x^{2}$

Schritt 4

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}} y] d x = \int 3 x^{2} d x$

Schritt 5

Integriere die linke Seite.

$e^{- x^{2}} y = \int 3 x^{2} d x$

Schritt 6

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 6.1

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$e^{- x^{2}} y = 3 \int x^{2} d x$

Schritt 6.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Schritt 6.3

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 6.3.1

Schreibe $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ als $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ um.

$e^{- x^{2}} y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Schritt 6.3.2

Vereinfache.

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Schritt 6.3.2.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$e^{- x^{2}} y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Schritt 6.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 6.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{- x^{2}} y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Schritt 6.3.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e^{- x^{2}} y = 1 x^{3} + C$

Schritt 6.3.2.3

Mutltipliziere $x^{3}$ mit $1$ .

$e^{- x^{2}} y = x^{3} + C$

Schritt 7

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x^{2}} y = x^{3} + C$ durch $e^{- x^{2}}$ und vereinfache.

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Schritt 7.1

Teile jeden Ausdruck in $e^{- x^{2}} y = x^{3} + C$ durch $e^{- x^{2}}$ .

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x^{3}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Schritt 7.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $e^{- x^{2}}$ .

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Schritt 7.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{e^{- x^{2}} y}{e^{- x^{2}}} = \frac{x^{3}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$

Schritt 7.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{e^{- x^{2}}} + \frac{C}{e^{- x^{2}}}$