Analysis Beispiele

$(6 x + y^{2}) d x + y (2 x + 3 y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 6 x + y^{2}$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x + y^{2}]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $6 x + y^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [6 x] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.3

Da $6 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $6 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 2 y$

Schritt 1.5

Addiere $0$ und $2 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 y$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y (2 x + 3 y)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (2 x + 3 y)]$

Schritt 2.2

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y (2 x + 3 y)$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [2 x + 3 y]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x + 3 y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Schritt 2.4

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $2 x$ nach $x$ gleich $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 y])$

Schritt 2.5

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Schritt 2.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + \frac{d}{d x} [3 y])$

Schritt 2.7

Da $3 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $3 y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 + 0)$

Schritt 2.8

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.8.1

Addiere $2$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \cdot 2$

Schritt 2.8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $2 y$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 y$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 y = 2 y$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 y = 2 y$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y (2 x + 3 y) d y$

Schritt 5

Integriere $N (x, y) = y (2 x + 3 y)$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 5.1

Multipliziere $y (2 x + 3 y)$ aus.

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Schritt 5.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = \int y (2 x) + y (3 y) d y$

Schritt 5.1.2

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = \int y \cdot 2 x + y (3 y) d y$

Schritt 5.1.3

Stelle $y$ und $2$ um.

$f (x, y) = \int 2 \cdot y x + y (3 y) d y$

Schritt 5.1.4

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = \int 2 \cdot y x + y \cdot 3 y d y$

Schritt 5.1.5

Stelle $y$ und $3$ um.

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 y \cdot y d y$

Schritt 5.1.6

Potenziere $y$ mit $1$ .

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 (y^{1} y) d y$

Schritt 5.1.7

Potenziere $y$ mit $1$ .

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 (y^{1} y^{1}) d y$

Schritt 5.1.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 y^{1 + 1} d y$

Schritt 5.1.9

Addiere $1$ und $1$ .

$f (x, y) = \int 2 y x + 3 y^{2} d y$

Schritt 5.1.10

Stelle $2 y x$ und $3 y^{2}$ um.

$f (x, y) = \int 3 y^{2} + 2 y x d y$

Schritt 5.2

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 3 y^{2} d y + \int 2 y x d y$

Schritt 5.3

Da $3$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 \int y^{2} d y + \int 2 y x d y$

Schritt 5.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + \int 2 y x d y$

Schritt 5.5

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $2 x$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 x \int y d y$

Schritt 5.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3} y^{3} + C) + 2 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Schritt 5.7

Vereinfache.

$f (x, y) = 3 (\frac{1}{3}) y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 5.8

Vereinfache.

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Schritt 5.8.1

Kombiniere $3$ und $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 5.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.8.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{3}{3} y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 5.8.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = 1 y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 5.8.3

Mutltipliziere $y^{3}$ mit $1$ .

$f (x, y) = y^{3} + 2 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Schritt 5.8.4

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} + x \frac{2}{2} y^{2} + C$

Schritt 5.8.5

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y^{3} + \frac{x \cdot 2}{2} y^{2} + C$

Schritt 5.8.6

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x, y) = y^{3} + \frac{2 \cdot x}{2} y^{2} + C$

Schritt 5.8.7

Mutltipliziere $2$ mit $x$ .

$f (x, y) = y^{3} + \frac{2 x}{2} y^{2} + C$

Schritt 5.8.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.8.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = y^{3} + \frac{2 x}{2} y^{2} + C$

Schritt 5.8.8.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + g (x)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 6 x + y^{2}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3} + x y^{2} + g (x)] = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.2

Differenziere.

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Schritt 8.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{3} + x y^{2} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.2.2

Da $y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Schritt 8.3.1

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y^{2}$ nach $x$ gleich $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$0 + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.3.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$0 + y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$0 + y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.5

Vereinfache.

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Schritt 8.5.1

Addiere $0$ und $y^{2}$ .

$y^{2} + \frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2}$

Schritt 8.5.2

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} + y^{2} = 6 x + y^{2}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d x}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 9.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = 6 x + y^{2} - y^{2}$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 x + y^{2} - y^{2}$ .

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Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $y^{2}$ von $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $6 x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 6 x$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $6 x$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = 6 x$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 6 x d x$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 6 x d x$

Schritt 10.3

Da $6$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $6$ aus dem Integral.

$g (x) = 6 \int x d x$

Schritt 10.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = 6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 10.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 10.5.1

Schreibe $6 (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ als $6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$ um.

$g (x) = 6 (\frac{1}{2}) x^{2} + C$

Schritt 10.5.2

Vereinfache.

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Schritt 10.5.2.1

Kombiniere $6$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \frac{6}{2} x^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 10.5.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2} x^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 10.5.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 (1)} x^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (x) = \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 1} x^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$g (x) = \frac{3}{1} x^{2} + C$

Schritt 10.5.2.2.2.4

Dividiere $3$ durch $1$ .

$g (x) = 3 x^{2} + C$

Schritt 11

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = y^{3} + x y^{2} + 3 x^{2} + C$