Analysis Beispiele

$d x - 2 (x + y) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 1$ .

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Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [1]$

Schritt 1.2

Da $1$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = - 2 (x + y)$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- 2 (x + y)]$

Schritt 2.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 2 (x + y)$ nach $x$ gleich $- 2 \frac{d}{d x} [x + y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \frac{d}{d x} [x + y]$

Schritt 2.3

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + y$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Schritt 2.5

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 (1 + 0)$

Schritt 2.6

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 2.6.1

Addiere $1$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2 \cdot 1$

Schritt 2.6.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 2$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 3.1

Setze $0$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $- 2$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$0 = - 2$

Schritt 3.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$0 = - 2$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Schritt 4.1

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Schritt 4.2

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $0$ .

$\frac{- 2 + 0}{M}$

Schritt 4.3

Ersetze $M$ durch $1$ .

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Schritt 4.3.1

Ersetze $M$ durch $1$ .

$\frac{- 2 + 0}{1}$

Schritt 4.3.2

Dividiere $- 2 + 0$ durch $1$ .

$- 2 + 0$

Schritt 4.3.3

Ersetze $M$ durch $1$ .

$- 2$

Schritt 4.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - 2 d y}$

Schritt 5

Berechne das Integral $e^{\int - 2 d y}$ .

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Schritt 5.1

Wende die Konstantenregel an.

$μ (x, y) = e^{- 2 y + C}$

Schritt 5.2

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 2 y} + C$

Schritt 6

Mutltipliziere $1$ mit $e^{- 2 y}$ .

$d x - 2 (x + y) d y = 0$

Schritt 7

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int e^{- 2 y} d x$

Schritt 8

Integriere $M (x, y) = e^{- 2 y}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 8.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + C$

Schritt 9

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + g (y)$

Schritt 10

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Schritt 11

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Schritt 11.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x + g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Schritt 11.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $e^{- 2 y} x + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Schritt 11.3

Berechne $\frac{d}{d y} [e^{- 2 y} x]$ .

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Schritt 11.3.1

Da $x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $e^{- 2 y} x$ nach $y$ gleich $x \frac{d}{d y} [e^{- 2 y}]$ .

$x \frac{d}{d y} [e^{- 2 y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Schritt 11.3.2

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ ist $f' (g (y)) g' (y)$ , mit $f (y) = e^{y}$ und $g (y) = - 2 y$ .

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Schritt 11.3.2.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $- 2 y$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Schritt 11.3.2.2

Differenziere unter Anwendung der Exponentialregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ gleich $a^{u} \ln (a)$ ist, wobei $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Schritt 11.3.2.3

Ersetze alle $u$ durch $- 2 y$ .

$x (e^{- 2 y} \frac{d}{d y} [- 2 y]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Schritt 11.3.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ nach $y$ gleich $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$x (e^{- 2 y} (- 2 \frac{d}{d y} [y])) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Schritt 11.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$x (e^{- 2 y} (- 2 \cdot 1)) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Schritt 11.3.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$x (e^{- 2 y} \cdot - 2) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Schritt 11.3.6

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $e^{- 2 y}$ .

$x (- 2 e^{- 2 y}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Schritt 11.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x (- 2 e^{- 2 y}) + \frac{d g}{d y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Schritt 11.5

Vereinfache.

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Schritt 11.5.1

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y} x = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Schritt 11.5.2

Stelle die Faktoren in $\frac{d g}{d y} - 2 e^{- 2 y} x$ um.

$\frac{d g}{d y} - 2 x e^{- 2 y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y}$

Schritt 12

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

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Schritt 12.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 12.1.1

Addiere $2 x e^{- 2 y}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = - 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y} + 2 x e^{- 2 y}$

Schritt 12.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 x e^{- 2 y} - 2 y e^{- 2 y} + 2 x e^{- 2 y}$ .

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Schritt 12.1.2.1

Addiere $- 2 x e^{- 2 y}$ und $2 x e^{- 2 y}$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y} + 0$

Schritt 12.1.2.2

Addiere $- 2 y e^{- 2 y}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $- 2 y e^{- 2 y}$ , um $g (y)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = - 2 y e^{- 2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y e^{- 2 y} d y$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y e^{- 2 y} d y$

Schritt 13.3

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 2$ aus dem Integral.

$g (y) = - 2 \int y e^{- 2 y} d y$

Schritt 13.4

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = y$ und $d v = e^{- 2 y}$ .

$g (y) = - 2 (y (- \frac{1}{2} e^{- 2 y}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Schritt 13.5

Vereinfache.

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Schritt 13.5.1

Kombiniere $e^{- 2 y}$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (y (- \frac{e^{- 2 y}}{2}) - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Schritt 13.5.2

Kombiniere $y$ und $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \int - \frac{1}{2} e^{- 2 y} d y)$

Schritt 13.5.3

Kombiniere $e^{- 2 y}$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \int - \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Schritt 13.6

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - - \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Schritt 13.7

Vereinfache.

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Schritt 13.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + 1 \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Schritt 13.7.2

Mutltipliziere $\int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y$ mit $1$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \int \frac{e^{- 2 y}}{2} d y)$

Schritt 13.8

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{- 2 y} d y)$

Schritt 13.9

Sei $u = - 2 y$ . Dann ist $d u = - 2 d y$ , folglich $- \frac{1}{2} d u = d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 13.9.1

Es sei $u = - 2 y$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 13.9.1.1

Differenziere $- 2 y$ .

$\frac{d}{d y} [- 2 y]$

Schritt 13.9.1.2

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ nach $y$ gleich $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$- 2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 13.9.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Schritt 13.9.1.4

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$- 2$

Schritt 13.9.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} \frac{1}{- 2} d u)$

Schritt 13.10

Vereinfache.

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Schritt 13.10.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int e^{u} (- \frac{1}{2}) d u)$

Schritt 13.10.2

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} \int - \frac{e^{u}}{2} d u)$

Schritt 13.11

Da $- 1$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- \int \frac{e^{u}}{2} d u))$

Schritt 13.12

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)))$

Schritt 13.13

Vereinfache.

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Schritt 13.13.1

Entferne die Klammern.

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} + \frac{1}{2} (- \frac{1}{2} \int e^{u} d u))$

Schritt 13.13.2

Mutltipliziere $\frac{1}{2}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{2 \cdot 2} \int e^{u} d u)$

Schritt 13.13.3

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} \int e^{u} d u)$

Schritt 13.14

Das Integral von $e^{u}$ nach $u$ ist $e^{u}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$

Schritt 13.15

Schreibe $- 2 (- \frac{y e^{- 2 y}}{2} - \frac{1}{4} (e^{u} + C))$ als $- 2 (- \frac{1}{2} y e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$ um.

$g (y) = - 2 (- \frac{1}{2} y e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 13.16

Vereinfache.

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Schritt 13.16.1

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{y}{2} e^{- 2 y} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 13.16.2

Kombiniere $e^{- 2 y}$ und $\frac{y}{2}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{1}{4} e^{u}) + C$

Schritt 13.16.3

Kombiniere $e^{u}$ und $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{e^{u}}{4}) + C$

Schritt 13.17

Ersetze alle $u$ durch $- 2 y$ .

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2} - \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Schritt 13.18

Vereinfache.

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Schritt 13.18.1

Wende das Distributivgesetz an.

$g (y) = - 2 (- \frac{e^{- 2 y} y}{2}) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Schritt 13.18.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.18.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{- 2 y} y}{2}$ in den Zähler.

$g (y) = - 2 \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Schritt 13.18.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$g (y) = 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Schritt 13.18.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y} y}{2} - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Schritt 13.18.2.4

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = - (- e^{- 2 y} y) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Schritt 13.18.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (y) = 1 (e^{- 2 y} y) - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Schritt 13.18.4

Mutltipliziere $e^{- 2 y}$ mit $1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y - 2 (- \frac{e^{- 2 y}}{4}) + C$

Schritt 13.18.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 13.18.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{e^{- 2 y}}{4}$ in den Zähler.

$g (y) = e^{- 2 y} y - 2 \frac{- e^{- 2 y}}{4} + C$

Schritt 13.18.5.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 (- 1) \frac{- e^{- 2 y}}{4} + C$

Schritt 13.18.5.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 13.18.5.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (y) = e^{- 2 y} y + 2 \cdot - 1 \frac{- e^{- 2 y}}{2 \cdot 2} + C$

Schritt 13.18.5.5

Forme den Ausdruck um.

$g (y) = e^{- 2 y} y - \frac{- e^{- 2 y}}{2} + C$

Schritt 13.18.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.18.6.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g (y) = e^{- 2 y} y - - \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Schritt 13.18.6.2

Multipliziere $- - \frac{e^{- 2 y}}{2}$ .

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Schritt 13.18.6.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + 1 \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Schritt 13.18.6.2.2

Mutltipliziere $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ mit $1$ .

$g (y) = e^{- 2 y} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Schritt 13.18.7

Vereinige $e^{- 2 y} y$ und $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 13.18.7.1

Stelle $e^{- 2 y}$ und $y$ um.

$g (y) = y e^{- 2 y} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Schritt 13.18.7.2

Um $y e^{- 2 y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$g (y) = y e^{- 2 y} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Schritt 13.18.7.3

Kombiniere $y e^{- 2 y}$ und $\frac{2}{2}$ .

$g (y) = \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Schritt 13.18.7.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$g (y) = \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}}{2} + C$

Schritt 13.18.8

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 13.18.8.1

Faktorisiere $e^{- 2 y}$ aus $y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}$ heraus.

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Schritt 13.18.8.1.1

Faktorisiere $e^{- 2 y}$ aus $y e^{- 2 y} \cdot 2$ heraus.

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y}}{2} + C$

Schritt 13.18.8.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1}{2} + C$

Schritt 13.18.8.1.3

Faktorisiere $e^{- 2 y}$ aus $e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1$ heraus.

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Schritt 13.18.8.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$g (y) = \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Schritt 13.19

Stelle die Terme um.

$g (y) = \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$

Schritt 14

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = e^{- 2 y} x + g (y)$ ein.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$

Schritt 15

Vereinfache $f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{1}{2} e^{- 2 y} (2 y + 1) + C$ .

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $e^{- 2 y}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y}}{2} (2 y + 1) + C$

Schritt 15.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y}}{2} (2 y) + \frac{e^{- 2 y}}{2} \cdot 1 + C$

Schritt 15.1.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} \cdot 1 + C$

Schritt 15.1.4

Mutltipliziere $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ mit $1$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Schritt 15.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 15.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + 2 \frac{e^{- 2 y}}{2} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Schritt 15.1.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + e^{- 2 y} y + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Schritt 15.1.6

Vereinige $e^{- 2 y} y$ und $\frac{e^{- 2 y}}{2}$ mithilfe eines gemeinsamen Nenners.

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Schritt 15.1.6.1

Stelle $e^{- 2 y}$ und $y$ um.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + y e^{- 2 y} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Schritt 15.1.6.2

Um $y e^{- 2 y}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + y e^{- 2 y} \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Schritt 15.1.6.3

Kombiniere $y e^{- 2 y}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y}}{2} + C$

Schritt 15.1.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}}{2} + C$

Schritt 15.1.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.1.7.1

Faktorisiere $e^{- 2 y}$ aus $y e^{- 2 y} \cdot 2 + e^{- 2 y}$ heraus.

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Schritt 15.1.7.1.1

Faktorisiere $e^{- 2 y}$ aus $y e^{- 2 y} \cdot 2$ heraus.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y}}{2} + C$

Schritt 15.1.7.1.2

Multipliziere mit $1$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1}{2} + C$

Schritt 15.1.7.1.3

Faktorisiere $e^{- 2 y}$ aus $e^{- 2 y} (y \cdot 2) + e^{- 2 y} \cdot 1$ heraus.

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (y \cdot 2 + 1)}{2} + C$

Schritt 15.1.7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Schritt 15.2

Um $e^{- 2 y} x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = e^{- 2 y} x \cdot \frac{2}{2} + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Schritt 15.3

Kombiniere $e^{- 2 y} x$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} x \cdot 2}{2} + \frac{e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Schritt 15.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} x \cdot 2 + e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Schritt 15.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.5.1

Faktorisiere $e^{- 2 y}$ aus $e^{- 2 y} x \cdot 2 + e^{- 2 y} (2 y + 1)$ heraus.

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Schritt 15.5.1.1

Faktorisiere $e^{- 2 y}$ aus $e^{- 2 y} x \cdot 2$ heraus.

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (x \cdot 2) + e^{- 2 y} (2 y + 1)}{2} + C$

Schritt 15.5.1.2

Faktorisiere $e^{- 2 y}$ aus $e^{- 2 y} (x \cdot 2) + e^{- 2 y} (2 y + 1)$ heraus.

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (x \cdot 2 + 2 y + 1)}{2} + C$

Schritt 15.5.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f (x, y) = \frac{e^{- 2 y} (2 x + 2 y + 1)}{2} + C$