Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sin (x)}{y + 2}$ ; with $y (0) = 2$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y + 2$ .

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 2$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = (y + 2) \frac{\sin (x)}{y + 2}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(y + 2) \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(y + 2) d y = \sin (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y + 2 d y = \int \sin (x) d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y d y + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int 2 d y = \int \sin (x) d x$

Schritt 2.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + 2 y + C_{2} = \int \sin (x) d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = \int \sin (x) d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\sin (x)$ nach $x$ ist $- \cos (x)$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y + C_{3} = - \cos (x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $x$ und $2$ für $y$ in $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ ersetzt wird.

$\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2 = - \cos (0) + K$

Schritt 4

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ um.

$- \cos (0) + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Der genau Wert von $\cos (0)$ ist $1$ .

$- 1 \cdot 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Schritt 4.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Vereinfache $\frac{1}{2} \cdot 2^{2} + 2 \cdot 2$ .

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Schritt 4.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 4.3.1.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2^{2}$ heraus.

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- 1 + K = \frac{1}{2} \cdot (2 \cdot 2) + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.1.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 1 + K = 2 + 2 \cdot 2$

Schritt 4.3.1.1.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$- 1 + K = 2 + 4$

Schritt 4.3.1.2

Addiere $2$ und $4$ .

$- 1 + K = 6$

Schritt 4.4

Bringe alle Terme, die nicht $K$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 4.4.1

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$K = 6 + 1$

Schritt 4.4.2

Addiere $6$ und $1$ .

$K = 7$

Schritt 5

Setze $7$ für $K$ in $\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + K$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $K$ durch $7$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$

Schritt 5.2

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} + 2 y = - \cos (x) + 7$