Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \sec (x) \tan (x) - e^{x}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = (\sec (x) \tan (x) - e^{x}) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \sec (x) \tan (x) - e^{x} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \sec (x) \tan (x) - e^{x} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \int \sec (x) \tan (x) d x + \int - e^{x} d x$

Schritt 2.3.2

Da die Ableitung von $\sec (x)$ gleich $\sec (x) \tan (x)$ ist, ist das Integral von $\sec (x) \tan (x)$ gleich $\sec (x)$ .

$y + C_{1} = \sec (x) + C_{2} + \int - e^{x} d x$

Schritt 2.3.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \sec (x) + C_{2} - \int e^{x} d x$

Schritt 2.3.4

Das Integral von $e^{x}$ nach $x$ ist $e^{x}$ .

$y + C_{1} = \sec (x) + C_{2} - (e^{x} + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

$y + C_{1} = \sec (x) - e^{x} + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = - e^{x} + \sec (x) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = - e^{x} + \sec (x) + K$