Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x + 8}{y - 1}$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $y - 1$ .

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = (y - 1) \frac{3 x + 8}{y - 1}$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = (y - 1) \frac{3 x + 8}{y - 1}$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$(y - 1) \frac{d y}{d x} = 3 x + 8$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$(y - 1) d y = (3 x + 8) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int y - 1 d y = \int 3 x + 8 d x$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\int y d y + \int - 1 d y = \int 3 x + 8 d x$

Schritt 2.2.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 1 d y = \int 3 x + 8 d x$

Schritt 2.2.3

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - y + C_{2} = \int 3 x + 8 d x$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \int 3 x + 8 d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \int 3 x d x + \int 8 d x$

Schritt 2.3.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = 3 \int x d x + \int 8 d x$

Schritt 2.3.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 8 d x$

Schritt 2.3.4

Wende die Konstantenregel an.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = 3 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.3.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = 3 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 8 x + C_{5}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \frac{3 x^{2}}{2} + 8 x + C_{6}$

Schritt 2.3.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{1}{2} y^{2} - y + C_{3} = \frac{3}{2} x^{2} + 8 x + C_{6}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$\frac{1}{2} y^{2} - y = \frac{3}{2} x^{2} + 8 x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - y = \frac{3}{2} x^{2} + 8 x + K$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - y = \frac{3 x^{2}}{2} + 8 x + K$

Schritt 3.3

Bringe alle Ausdrücke auf die linke Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Subtrahiere $\frac{3 x^{2}}{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{3 x^{2}}{2} = 8 x + K$

Schritt 3.3.2

Subtrahiere $8 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{3 x^{2}}{2} - 8 x = K$

Schritt 3.3.3

Subtrahiere $K$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{y^{2}}{2} - y - \frac{3 x^{2}}{2} - 8 x - K = 0$

Schritt 3.4

Multipliziere mit dem Hauptnenner $2$ aus und vereinfache dann.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- y) + 2 (- \frac{3 x^{2}}{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- y) + 2 (- \frac{3 x^{2}}{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} + 2 (- y) + 2 (- \frac{3 x^{2}}{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} - 2 y + 2 (- \frac{3 x^{2}}{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3 x^{2}}{2}$ in den Zähler.

$y^{2} - 2 y + 2 (\frac{- 3 x^{2}}{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} - 2 y + 2 (\frac{- 3 x^{2}}{2}) + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} - 2 y - 3 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $2$ .

$y^{2} - 2 y - 3 x^{2} - 16 x + 2 (- K) = 0$

Schritt 3.4.2.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$y^{2} - 2 y - 3 x^{2} - 16 x - 2 K = 0$

Schritt 3.4.3

Bewege $- 2 y$ .

$y^{2} - 3 x^{2} - 16 x - 2 K - 2 y = 0$

Schritt 3.4.4

Bewege $- 16 x$ .

$y^{2} - 3 x^{2} - 2 K - 16 x - 2 y = 0$

Schritt 3.4.5

Stelle $y^{2}$ und $- 3 x^{2}$ um.

$- 3 x^{2} + y^{2} - 2 K - 16 x - 2 y = 0$

Schritt 3.5

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.6

Setze die Werte $a = 1$ , $b = - 2$ und $c = - 3 x^{2} - 2 K - 16 x$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 3 x^{2} - 2 K - 16 x))}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1.1

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot (- 3 x^{2} - 2 K - 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot (- 3 x^{2} - 2 K - 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 (- 3 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1.4.1

Mutltipliziere $- 3$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.4.2

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12 x^{2} + 8 K - 4 (- 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.4.3

Mutltipliziere $- 16$ mit $- 4$ .

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12 x^{2} + 8 K + 64 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4 + 12 x^{2} + 8 K + 64 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1.5.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 12 x^{2} + 8 K + 64 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.5.2

Faktorisiere $4$ aus $12 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (3 x^{2}) + 8 K + 64 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.5.3

Faktorisiere $4$ aus $8 K$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (3 x^{2}) + 4 (2 K) + 64 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.5.4

Faktorisiere $4$ aus $64 x$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1) + 4 (3 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (16 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.5.5

Faktorisiere $4$ aus $4 (1) + 4 (3 x^{2})$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + 3 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (16 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.5.6

Faktorisiere $4$ aus $4 (1 + 3 x^{2}) + 4 (2 K)$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + 3 x^{2} + 2 K) + 4 (16 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.5.7

Faktorisiere $4$ aus $4 (1 + 3 x^{2} + 2 K) + 4 (16 x)$ heraus.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{4 (1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.6

Schreibe $4 (1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x)$ als $2^{2} (1^{2} + 3 x^{2} + 2 K + 16 x)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.7.1.6.1

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.6.2

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} (1^{2} + 3 x^{2} + 2 K + 16 x)}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1^{2} + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.1.8

Eins zu einer beliebigen Potenz erhoben ergibt eins.

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}}{2 \cdot 1}$

Schritt 3.7.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$y = \frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}}{2}$

Schritt 3.7.3

Vereinfache $\frac{2 \pm 2 \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}}{2}$ .

$y = 1 \pm \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}$

Schritt 3.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = 1 + \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}$

$y = 1 + \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + 3 x^{2} + 2 K + 16 x}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = 1 + \sqrt{1 + 3 x^{2} + K + 16 x}$

$y = 1 - \sqrt{1 + 3 x^{2} + K + 16 x}$