Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = x^{2} y^{6}$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Bernoulli-Technik entspricht.

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Schritt 1.1

Faktorisiere $y$ aus $\frac{y}{x}$ heraus.

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = x^{2} y^{6}$

Schritt 1.2

Stelle $y$ und $\frac{1}{x}$ um.

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{2} y^{6}$

Schritt 2

Um die Differentialgleichung zu lösen, sei $v = y^{1 - n}$ wo $n$ der Exponent von $y^{6}$ ist.

$v = y^{- 5}$

Schritt 3

Löse die Gleichung nach $y$ auf.

$y = v^{- \frac{1}{5}}$

Schritt 4

Nimm die Ableitung von $y$ in Gedenken an $x$ .

$y' = v^{- \frac{1}{5}}$

Schritt 5

Nimm die Ableitung von $v^{- \frac{1}{5}}$ in Gedenken an $x$ .

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Schritt 5.1

Nimm die Ableitung von $v^{- \frac{1}{5}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [v^{- \frac{1}{5}}]$

Schritt 5.2

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = \frac{d}{d x} [\frac{1}{v^{\frac{1}{5}}}]$

Schritt 5.3

Differenziere unter Anwendung der Quotientenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ gleich $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ ist mit $f (x) = 1$ und $g (x) = v^{\frac{1}{5}}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{{(v^{\frac{1}{5}})}^{2}}$

Schritt 5.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 5.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{{(v^{\frac{1}{5}})}^{2}}$

Schritt 5.4.2

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{\frac{1}{5}})}^{2}$ .

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Schritt 5.4.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{1}{5} \cdot 2}}$

Schritt 5.4.2.2

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $2$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \frac{d}{d x} [1] - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.4.3

Da $1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$y' = \frac{v^{\frac{1}{5}} \cdot 0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.4.4

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.4.4.1

Mutltipliziere $v^{\frac{1}{5}}$ mit $0$ .

$y' = \frac{0 - \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.4.4.2

Subtrahiere $\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]$ von $0$ .

$y' = \frac{- \frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.4.4.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{d}{d x} [v^{\frac{1}{5}}]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.5

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{\frac{1}{5}}$ und $g (x) = v$ .

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Schritt 5.5.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{5}}] \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.5.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = \frac{1}{5}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} u^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.5.3

Ersetze alle $u$ durch $v$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} - 1} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.6

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.7

Kombiniere $- 1$ und $\frac{5}{5}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.8

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.9

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.9.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{1 - 5}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.9.2

Subtrahiere $5$ von $1$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{\frac{- 4}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y' = - \frac{\frac{1}{5} v^{- \frac{4}{5}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.11

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $v^{- \frac{4}{5}}$ .

$y' = - \frac{\frac{v^{- \frac{4}{5}}}{5} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.12

Bringe $v^{- \frac{4}{5}}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y' = - \frac{\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}} \frac{d}{d x} [v]}{v^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.13

Schreibe $\frac{d}{d x} [v]$ als $v'$ um.

$y' = - \frac{\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}} v'}{v^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.14

Kombiniere $\frac{1}{5 v^{\frac{4}{5}}}$ und $v'$ .

$y' = - \frac{\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}}{v^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.15

Schreibe $\frac{\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}}{v^{\frac{2}{5}}}$ als ein Produkt um.

$y' = - (\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}} \cdot \frac{1}{v^{\frac{2}{5}}})$

Schritt 5.16

Mutltipliziere $\frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}}}$ mit $\frac{1}{v^{\frac{2}{5}}}$ .

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{4}{5}} v^{\frac{2}{5}}}$

Schritt 5.17

Multipliziere $v^{\frac{4}{5}}$ mit $v^{\frac{2}{5}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 5.17.1

Bewege $v^{\frac{2}{5}}$ .

$y' = - \frac{v'}{5 (v^{\frac{2}{5}} v^{\frac{4}{5}})}$

Schritt 5.17.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{2}{5} + \frac{4}{5}}}$

Schritt 5.17.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{2 + 4}{5}}}$

Schritt 5.17.4

Addiere $2$ und $4$ .

$y' = - \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}}$

Schritt 6

Setze $- \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}}$ für $\frac{d y}{d x}$ und $v^{- \frac{1}{5}}$ für $y$ in die ursprüngliche Gleichung $\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = x^{2} y^{6}$ ein.

$- \frac{v'}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$

Schritt 7

Löse die substituierte Differentialgleichung.

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Schritt 7.1

Schreibe die Differentialgleichung als $\frac{d v}{d x} + M (x) v = Q (x)$ um.

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Schritt 7.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ mit $- (5 v^{\frac{6}{5}})$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 7.1.1.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ mit $- (5 v^{\frac{6}{5}})$ .

$- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Schritt 7.1.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.1.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.1.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5 v^{\frac{6}{5}}$ .

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Schritt 7.1.1.2.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}}$ in den Zähler.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.1.2

Faktorisiere $5 v^{\frac{6}{5}}$ aus $- (5 v^{\frac{6}{5}})$ heraus.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (5 v^{\frac{6}{5}} (- 1)) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- \frac{d v}{d x}}{5 v^{\frac{6}{5}}} (5 v^{\frac{6}{5}} \cdot - 1) + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{d v}{d x} \cdot - 1 + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{d v}{d x}$ mit $1$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} (- (5 v^{\frac{6}{5}})) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.4

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{- \frac{1}{5}} v^{\frac{6}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.5

Multipliziere $v^{- \frac{1}{5}}$ mit $v^{\frac{6}{5}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.1.2.1.5.1

Bewege $v^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} (v^{\frac{6}{5}} v^{- \frac{1}{5}}) = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.5.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{6}{5} - \frac{1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.5.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{6 - 1}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.5.4

Subtrahiere $1$ von $6$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{\frac{5}{5}} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.5.5

Dividiere $5$ durch $5$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{1} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.6

Vereinfache $- 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v^{1}$ .

$\frac{d v}{d x} - 1 \cdot 5 \frac{1}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.7

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{d v}{d x} - 5 \frac{1}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.8

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} + \frac{- 5}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5}{x} v = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.10

Kombiniere $v$ und $\frac{5}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{v \cdot 5}{x} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Schritt 7.1.1.2.1.11

Bringe $5$ auf die linke Seite von $v$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} (- (5 v^{\frac{6}{5}}))$

Schritt 7.1.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.1.1.3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 1 \cdot 5 x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} v^{\frac{6}{5}}$

Schritt 7.1.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $5$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} {(v^{- \frac{1}{5}})}^{6} v^{\frac{6}{5}}$

Schritt 7.1.1.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(v^{- \frac{1}{5}})}^{6}$ .

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Schritt 7.1.1.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- \frac{1}{5} \cdot 6} v^{\frac{6}{5}}$

Schritt 7.1.1.3.3.2

Multipliziere $- \frac{1}{5} \cdot 6$ .

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Schritt 7.1.1.3.3.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- 6 (\frac{1}{5})} v^{\frac{6}{5}}$

Schritt 7.1.1.3.3.2.2

Kombiniere $- 6$ und $\frac{1}{5}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{- 6}{5}} v^{\frac{6}{5}}$

Schritt 7.1.1.3.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{- \frac{6}{5}} v^{\frac{6}{5}}$

Schritt 7.1.1.3.4

Multipliziere $v^{- \frac{6}{5}}$ mit $v^{\frac{6}{5}}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.1.1.3.4.1

Bewege $v^{\frac{6}{5}}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} (v^{\frac{6}{5}} v^{- \frac{6}{5}})$

Schritt 7.1.1.3.4.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{6}{5} - \frac{6}{5}}$

Schritt 7.1.1.3.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{6 - 6}{5}}$

Schritt 7.1.1.3.4.4

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{\frac{0}{5}}$

Schritt 7.1.1.3.4.5

Dividiere $0$ durch $5$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2} v^{0}$

Schritt 7.1.1.3.5

Vereinfache $- 5 x^{2} v^{0}$ .

$\frac{d v}{d x} - \frac{5 v}{x} = - 5 x^{2}$

Schritt 7.1.2

Faktorisiere $v$ aus $- \frac{5 v}{x}$ heraus.

$\frac{d v}{d x} + v (- \frac{5}{x}) = - 5 x^{2}$

Schritt 7.1.3

Stelle $v$ und $- \frac{5}{x}$ um.

$\frac{d v}{d x} - \frac{5}{x} v = - 5 x^{2}$

Schritt 7.2

Der Integrationsfaktor ist definiert durch die Formel $e^{\int P (x) d x}$ , wobei $P (x) = - \frac{5}{x}$ gilt.

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Schritt 7.2.1

Stelle das Integral auf.

$e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

Schritt 7.2.2

Integriere $- \frac{5}{x}$ .

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Schritt 7.2.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

Schritt 7.2.2.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 7.2.2.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 7.2.2.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 7.2.2.5

Vereinfache.

$e^{- 5 \ln (| x |) + C}$

Schritt 7.2.3

Entferne die Konstante der Integration.

$e^{- 5 \ln (x)}$

Schritt 7.2.4

Verwende die Potenzregel des Logarithmus.

$e^{\ln (x^{- 5})}$

Schritt 7.2.5

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$x^{- 5}$

Schritt 7.2.6

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}}$

Schritt 7.3

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{5}}$ .

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Schritt 7.3.1

Multipliziere jeden Ausdruck mit $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d v}{d x} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Schritt 7.3.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 7.3.2.1

Kombiniere $\frac{1}{x^{5}}$ und $\frac{d v}{d x}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Schritt 7.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} (\frac{5}{x} v) = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Schritt 7.3.2.3

Kombiniere $\frac{5}{x}$ und $v$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 v}{x} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Schritt 7.3.2.4

Multipliziere $- \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 v}{x}$ .

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Schritt 7.3.2.4.1

Mutltipliziere $\frac{5 v}{x}$ mit $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x \cdot x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Schritt 7.3.2.4.2

Multipliziere $x$ mit $x^{5}$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 7.3.2.4.2.1

Mutltipliziere $x$ mit $x^{5}$ .

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Schritt 7.3.2.4.2.1.1

Potenziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{1} x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Schritt 7.3.2.4.2.1.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{1 + 5}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Schritt 7.3.2.4.2.2

Addiere $1$ und $5$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{1}{x^{5}} (- 5 x^{2})$

Schritt 7.3.3

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = - 5 \frac{1}{x^{5}} x^{2}$

Schritt 7.3.4

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{5}} x^{2}$

Schritt 7.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 7.3.5.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{5}$ heraus.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{2} x^{3}} x^{2}$

Schritt 7.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{2} x^{3}} x^{2}$

Schritt 7.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = \frac{- 5}{x^{3}}$

Schritt 7.3.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{\frac{d v}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 v}{x^{6}} = - \frac{5}{x^{3}}$

Schritt 7.4

Schreibe die linke Seite als ein Ergebnis der Produktdifferenzierung.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} v] = - \frac{5}{x^{3}}$

Schritt 7.5

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} v] d x = \int - \frac{5}{x^{3}} d x$

Schritt 7.6

Integriere die linke Seite.

$\frac{1}{x^{5}} v = \int - \frac{5}{x^{3}} d x$

Schritt 7.7

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 7.7.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x^{5}} v = - \int \frac{5}{x^{3}} d x$

Schritt 7.7.2

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$\frac{1}{x^{5}} v = - (5 \int \frac{1}{x^{3}} d x)$

Schritt 7.7.3

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 7.7.3.1

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int \frac{1}{x^{3}} d x$

Schritt 7.7.3.2

Bringe $x^{3}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int {(x^{3})}^{- 1} d x$

Schritt 7.7.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Schritt 7.7.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int x^{3 \cdot - 1} d x$

Schritt 7.7.3.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 \int x^{- 3} d x$

Schritt 7.7.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 3}$ nach $x$ gleich $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C)$

Schritt 7.7.5

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 7.7.5.1

Vereinfache.

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Schritt 7.7.5.1.1

Kombiniere $x^{- 2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C)$

Schritt 7.7.5.1.2

Bringe $x^{- 2}$ in den Nenner mit Hilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C)$

Schritt 7.7.5.2

Vereinfache.

$\frac{1}{x^{5}} v = - 5 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + C$

Schritt 7.7.5.3

Vereinfache.

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Schritt 7.7.5.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = 5 \frac{1}{2 x^{2}} + C$

Schritt 7.7.5.3.2

Kombiniere $5$ und $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} v = \frac{5}{2 x^{2}} + C$

Schritt 7.8

Löse nach $v$ auf.

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Schritt 7.8.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 7.8.1.1

Subtrahiere $\frac{5}{2 x^{2}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{5}} v - \frac{5}{2 x^{2}} = C$

Schritt 7.8.1.2

Subtrahiere $C$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{1}{x^{5}} v - \frac{5}{2 x^{2}} - C = 0$

Schritt 7.8.1.3

Kombiniere $\frac{1}{x^{5}}$ und $v$ .

$\frac{v}{x^{5}} - \frac{5}{2 x^{2}} - C = 0$

Schritt 7.8.2

Bringe alle Terme, die nicht $v$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 7.8.2.1

Addiere $\frac{5}{2 x^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{v}{x^{5}} - C = \frac{5}{2 x^{2}}$

Schritt 7.8.2.2

Addiere $C$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{v}{x^{5}} = \frac{5}{2 x^{2}} + C$

Schritt 7.8.3

Multipliziere beide Seiten mit $x^{5}$ .

$\frac{v}{x^{5}} x^{5} = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

Schritt 7.8.4

Vereinfache.

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Schritt 7.8.4.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 7.8.4.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{5}$ .

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Schritt 7.8.4.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{v}{x^{5}} x^{5} = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

Schritt 7.8.4.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$v = (\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$

Schritt 7.8.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 7.8.4.2.1

Vereinfache $(\frac{5}{2 x^{2}} + C) x^{5}$ .

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Schritt 7.8.4.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$v = \frac{5}{2 x^{2}} x^{5} + C x^{5}$

Schritt 7.8.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 7.8.4.2.1.2.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $2 x^{2}$ heraus.

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} x^{5} + C x^{5}$

Schritt 7.8.4.2.1.2.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{5}$ heraus.

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} (x^{2} x^{3}) + C x^{5}$

Schritt 7.8.4.2.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$v = \frac{5}{x^{2} \cdot 2} (x^{2} x^{3}) + C x^{5}$

Schritt 7.8.4.2.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$v = \frac{5}{2} x^{3} + C x^{5}$

Schritt 7.8.4.2.1.3

Kombiniere $\frac{5}{2}$ und $x^{3}$ .

$v = \frac{5 x^{3}}{2} + C x^{5}$

Schritt 7.8.4.2.1.4

Stelle $\frac{5 x^{3}}{2}$ und $C x^{5}$ um.

$v = C x^{5} + \frac{5 x^{3}}{2}$

Schritt 8

Ersetze $v$ durch $y^{- 5}$ .

$y^{- 5} = C x^{5} + \frac{5 x^{3}}{2}$