Analysis Beispiele

$x d y + (3 x - 2 y) d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$(3 x - 2 y) d x + x d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 3 x - 2 y$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x - 2 y]$

Schritt 2.2

Differenziere.

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Schritt 2.2.1

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $3 x - 2 y$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x] + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Schritt 2.2.2

Da $3 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $3 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y]$

Schritt 2.3

Berechne $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Schritt 2.3.1

Da $- 2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 2 y$ nach $y$ gleich $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y]$

Schritt 2.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1$

Schritt 2.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2$

Schritt 2.4

Subtrahiere $2$ von $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x]$

Schritt 3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $- 2$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $1$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$- 2 = 1$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$- 2 = 1$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $- 2$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $1$ .

$\frac{- 2 - 1}{N}$

Schritt 5.3

Ersetze $N$ durch $x$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $N$ durch $x$ .

$\frac{- 2 - 1}{x}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $1$ von $- 2$ .

$\frac{- 3}{x}$

Schritt 5.3.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{3}{x}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{3}{x} d x}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{3}{x} d x}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{3}{x} d x}$

Schritt 6.2

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- (3 \int \frac{1}{x} d x)}$

Schritt 6.3

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 \int \frac{1}{x} d x}$

Schritt 6.4

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 3 (\ln (| x |) + C)}$

Schritt 6.5

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- 3 \ln (| x |)} + C$

Schritt 6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache $- 3 \ln (| x |)$ , indem du $- 3$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x |}^{- 3})} + C$

Schritt 6.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x |}^{- 3} + C$

Schritt 6.6.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{{| x |}^{3}} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $(3 x - 2 y) d x + x d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x^{3}}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $3 x - 2 y$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$(3 x - 2 y) \frac{1}{x^{3}} d x + x d y = 0$

Schritt 7.2

Mutltipliziere $3 x - 2 y$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x d y = 0$

Schritt 7.3

Mutltipliziere $x$ mit $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x^{3}} d y = 0$

Schritt 7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 7.4.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Schritt 7.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + x \frac{1}{x \cdot x^{2}} d y = 0$

Schritt 7.4.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{3 x - 2 y}{x^{3}} d x + \frac{1}{x^{2}} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{1}{x^{2}} d y$

Schritt 9

Integriere $N (x, y) = \frac{1}{x^{2}}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Wende die Konstantenregel an.

$f (x, y) = \frac{1}{x^{2}} y + C$

Schritt 9.2

Kombiniere $\frac{1}{x^{2}}$ und $y$ .

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + g (x)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}} + g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{y}{x^{2}} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12.3

Berechne $\frac{d}{d x} [\frac{y}{x^{2}}]$ .

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Schritt 12.3.1

Da $y$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{y}{x^{2}}$ nach $x$ gleich $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12.3.2

Schreibe $\frac{1}{x^{2}}$ als ${(x^{2})}^{- 1}$ um.

$y \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12.3.3

Differenziere unter Anwendung der Kettenregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ ist $f' (g (x)) g' (x)$ , mit $f (x) = x^{- 1}$ und $g (x) = x^{2}$ .

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Schritt 12.3.3.1

Um die Kettenregel anzuwenden, ersetze $u$ durch $x^{2}$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12.3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ gleich $n u^{n - 1}$ ist mit $n = - 1$ .

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12.3.3.3

Ersetze alle $u$ durch $x^{2}$ .

$y (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$y (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12.3.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Schritt 12.3.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12.3.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 2$ .

$y (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12.3.7

Potenziere $x$ mit $1$ .

$y (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12.3.8

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12.3.9

Subtrahiere $4$ von $1$ .

$y (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$y (- 2 x^{- 3}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12.5

Vereinfache.

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Schritt 12.5.1

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y (- 2 \frac{1}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12.5.2

Vereine die Terme

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Schritt 12.5.2.1

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{x^{3}}$ .

$y \frac{- 2}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12.5.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y (- \frac{2}{x^{3}}) + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12.5.2.3

Kombiniere $y$ und $\frac{2}{x^{3}}$ .

$- \frac{y \cdot 2}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12.5.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$- \frac{2 y}{x^{3}} + \frac{d g}{d x} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 12.5.3

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y}{x^{3}} = \frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$

Schritt 13

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1

Löse nach $\frac{d g}{d x}$ auf.

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Schritt 13.1.1

Bringe alle Terme, die Variablen enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 13.1.1.1

Subtrahiere $\frac{3 x - 2 y}{x^{3}}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} - \frac{2 y}{x^{3}} - \frac{3 x - 2 y}{x^{3}} = 0$

Schritt 13.1.1.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - (3 x - 2 y)}{x^{3}} = 0$

Schritt 13.1.1.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - (3 x) - (- 2 y)}{x^{3}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - 3 x - (- 2 y)}{x^{3}} = 0$

Schritt 13.1.1.3.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 2 y - 3 x + 2 y}{x^{3}} = 0$

Schritt 13.1.1.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 y - 3 x + 2 y$ .

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Schritt 13.1.1.4.1

Addiere $- 2 y$ und $2 y$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x + 0}{x^{3}} = 0$

Schritt 13.1.1.4.2

Addiere $- 3 x$ und $0$ .

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3 x}{x^{3}} = 0$

Schritt 13.1.1.5

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 13.1.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $x$ und $x^{3}$ .

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Schritt 13.1.1.5.1.1

Faktorisiere $x$ aus $- 3 x$ heraus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x^{3}} = 0$

Schritt 13.1.1.5.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 13.1.1.5.1.2.1

Faktorisiere $x$ aus $x^{3}$ heraus.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{d g}{d x} + \frac{x \cdot - 3}{x \cdot x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.5.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{d g}{d x} + \frac{- 3}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.1.5.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{d g}{d x} - \frac{3}{x^{2}} = 0$

Schritt 13.1.2

Addiere $\frac{3}{x^{2}}$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$

Schritt 14

Bestimme die Stammfunktion von $\frac{3}{x^{2}}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 14.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = \frac{3}{x^{2}}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 14.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{3}{x^{2}} d x$

Schritt 14.3

Da $3$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $3$ aus dem Integral.

$g (x) = 3 \int \frac{1}{x^{2}} d x$

Schritt 14.4

Bringe $x^{2}$ aus dem Nenner durch Potenzieren mit $- 1$ .

$g (x) = 3 \int {(x^{2})}^{- 1} d x$

Schritt 14.5

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Schritt 14.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$g (x) = 3 \int x^{2 \cdot - 1} d x$

Schritt 14.5.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$g (x) = 3 \int x^{- 2} d x$

Schritt 14.6

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{- 2}$ nach $x$ gleich $- x^{- 1}$ .

$g (x) = 3 (- x^{- 1} + C)$

Schritt 14.7

Vereinfache die Lösung.

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Schritt 14.7.1

Schreibe $3 (- x^{- 1} + C)$ als $3 (- \frac{1}{x}) + C$ um.

$g (x) = 3 (- \frac{1}{x}) + C$

Schritt 14.7.2

Vereinfache.

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Schritt 14.7.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$g (x) = - 3 \frac{1}{x} + C$

Schritt 14.7.2.2

Kombiniere $- 3$ und $\frac{1}{x}$ .

$g (x) = \frac{- 3}{x} + C$

Schritt 14.7.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g (x) = - \frac{3}{x} + C$

Schritt 15

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{y}{x^{2}} - \frac{3}{x} + C$