Analysis Beispiele

$(2 x y - x) d x + (y^{2} + x^{2}) d y = 0$

Schritt 1

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = 2 x y - x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y - x]$

Schritt 1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 x y - x$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 1.3

Berechne $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.3.1

Da $2 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 x y$ nach $y$ gleich $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 1.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 1.3.3

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [- x]$

Schritt 1.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.4.1

Da $- x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Schritt 1.4.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = y^{2} + x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2} + x^{2}]$

Schritt 2.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + x^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.3

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Schritt 2.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 0 + 2 x$

Schritt 2.5

Addiere $0$ und $2 x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Schritt 3

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Setze $2 x$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $2 x$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$2 x = 2 x$

Schritt 3.2

Da gezeigt wurde, dass die beiden Seiten äquivalent sind, ist die Gleichung eine Identitätsgleichung.

$2 x = 2 x$ ist eine Identitätsgleichung.

Schritt 4

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y - x d x$

Schritt 5

Integriere $M (x, y) = 2 x y - x$ , um $f (x, y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$f (x, y) = \int 2 x y d x + \int - x d x$

Schritt 5.2

Da $2 y$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2 y$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 y \int x d x + \int - x d x$

Schritt 5.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - x d x$

Schritt 5.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - \int x d x$

Schritt 5.5

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y (\frac{1}{2} x^{2} + C) - (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Schritt 5.6

Vereinfache.

$f (x, y) = 2 \cdot \frac{1}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 5.7

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 5.7.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.7.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{2}{2} y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 5.7.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = 1 y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 5.7.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$f (x, y) = y x^{2} - (\frac{1}{2} x^{2}) + C$

Schritt 5.7.4

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 5.7.5

Um $y x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 5.7.6

Kombiniere $y x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + C$

Schritt 5.7.7

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + C$

Schritt 5.7.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot (y x^{2}) - x^{2}}{2} + C$

Schritt 5.7.9

Entferne die Klammern.

$f (x, y) = \frac{2 y x^{2} - x^{2}}{2} + C$

Schritt 5.8

Stelle die Terme um.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + C$

Schritt 6

Da das Integral von $g (y)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (y)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$

Schritt 7

Setze $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y^{2} + x^{2}$

Schritt 8

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Differenziere $f$ nach $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Schritt 8.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Schritt 8.3

Berechne $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})]$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.1

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2})$ nach $y$ gleich $\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d y} [2 y x^{2} - x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Schritt 8.3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $2 y x^{2} - x^{2}$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d y} [2 y x^{2}] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Schritt 8.3.3

Da $2 x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2 y x^{2}$ nach $y$ gleich $2 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Schritt 8.3.4

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- x^{2}]) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Schritt 8.3.5

Da $- x^{2}$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- x^{2}$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Schritt 8.3.6

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2} + 0) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Schritt 8.3.7

Addiere $2 x^{2}$ und $0$ .

$\frac{1}{2} (2 x^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Schritt 8.3.8

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\frac{2}{2} x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Schritt 8.3.9

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $x^{2}$ .

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Schritt 8.3.10

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.3.10.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 x^{2}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Schritt 8.3.10.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$x^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y^{2} + x^{2}$

Schritt 8.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (y)$ $\frac{d g}{d y}$ ist.

$x^{2} + \frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2}$

Schritt 8.5

Stelle die Terme um.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} = y^{2} + x^{2}$

Schritt 9

Löse nach $\frac{d g}{d y}$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1

Bringe alle Terme, die nicht $\frac{d g}{d y}$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.1

Subtrahiere $x^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + x^{2} - x^{2}$

Schritt 9.1.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $y^{2} + x^{2} - x^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 9.1.2.1

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2} + 0$

Schritt 9.1.2.2

Addiere $y^{2}$ und $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{2}$

Schritt 10

Bestimme die Stammfunktion von $y^{2}$ , um $g (y)$ zu finden.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d y} = y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{2} d y$

Schritt 10.2

Berechne $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{2} d y$

Schritt 10.3

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 11

Setze $g (y)$ in $f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + g (y)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 12

Vereinfache $f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2} - x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 y x^{2}) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 12.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y x^{2}$ heraus.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 12.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x, y) = \frac{1}{2} (2 (y x^{2})) + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 12.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x, y) = y x^{2} + \frac{1}{2} (- x^{2}) + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 12.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 12.1.4

Um $y x^{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = y x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 12.1.5

Kombiniere $y x^{2}$ und $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 12.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{y x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 12.1.7

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.7.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $y x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1.7.1.1

Faktorisiere $x^{2}$ aus $y x^{2} \cdot 2$ heraus.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) - x^{2}}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 12.1.7.1.2

Faktorisiere $x^{2}$ aus $- x^{2}$ heraus.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 12.1.7.1.3

Faktorisiere $x^{2}$ aus $x^{2} (y \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ heraus.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (y \cdot 2 - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 12.1.7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 12.1.8

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} + \frac{y^{3}}{3} + C$

Schritt 12.2

Um $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} + C$

Schritt 12.3

Um $\frac{y^{3}}{3}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1)}{2} \cdot \frac{3}{3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 12.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $6$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.4.1

Mutltipliziere $\frac{x^{2} (2 y - 1)}{2}$ mit $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{2 \cdot 3} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 12.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $3$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3}}{3} \cdot \frac{2}{2} + C$

Schritt 12.4.3

Mutltipliziere $\frac{y^{3}}{3}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{3 \cdot 2} + C$

Schritt 12.4.4

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3}{6} + \frac{y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Schritt 12.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = \frac{x^{2} (2 y - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Schritt 12.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = \frac{(x^{2} (2 y) + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Schritt 12.6.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y + x^{2} \cdot - 1) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Schritt 12.6.3

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - 1 \cdot x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Schritt 12.6.4

Schreibe $- 1 x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$f (x, y) = \frac{(2 x^{2} y - x^{2}) \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Schritt 12.6.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = \frac{2 x^{2} y \cdot 3 - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Schritt 12.6.6

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - x^{2} \cdot 3 + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Schritt 12.6.7

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + y^{3} \cdot 2}{6} + C$

Schritt 12.6.8

Bringe $2$ auf die linke Seite von $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{6 x^{2} y - 3 x^{2} + 2 y^{3}}{6} + C$