Analysis Beispiele

$(x y^{2} + 4 y^{2}) d y - 5 x d x = 0$

Schritt 1

Schreibe die Differentialgleichung so um, dass sie der Technik der exakten Differentialgleichung entspricht.

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Schritt 1.1

Forme um.

$- 5 x d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Schritt 2

Ermittle $\frac{\partial M}{\partial y}$ , wenn $M (x, y) = - 5 x$ .

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Schritt 2.1

Differenziere $M$ nach $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [- 5 x]$

Schritt 2.2

Da $- 5 x$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $- 5 x$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Schritt 3

Ermittle $\frac{\partial N}{\partial x}$ , wenn $N (x, y) = x y^{2} + 4 y^{2}$ .

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Schritt 3.1

Differenziere $N$ nach $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2} + 4 y^{2}]$

Schritt 3.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x y^{2} + 4 y^{2}$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Schritt 3.3

Berechne $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Schritt 3.3.1

Da $y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $x y^{2}$ nach $x$ gleich $y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Schritt 3.3.2

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Schritt 3.3.3

Mutltipliziere $y^{2}$ mit $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} + \frac{d}{d x} [4 y^{2}]$

Schritt 3.4

Differenziere unter Anwendung der Konstantenregel.

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Schritt 3.4.1

Da $4 y^{2}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4 y^{2}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2} + 0$

Schritt 3.4.2

Addiere $y^{2}$ und $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y^{2}$

Schritt 4

Prüfe, ob $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Schritt 4.1

Setze $0$ für $\frac{\partial M}{\partial y}$ und $y^{2}$ für $\frac{\partial N}{\partial x}$ ein.

$0 = y^{2}$

Schritt 4.2

Da die linke Seite nicht gleich der rechten Seite ist, ist die Gleichung nicht identisch.

$0 = y^{2}$ ist keine Identitätsgleichung.

Schritt 5

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Schritt 5.1

Ersetze $\frac{\partial M}{\partial y}$ durch $0$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Schritt 5.2

Ersetze $\frac{\partial N}{\partial x}$ durch $y^{2}$ .

$\frac{0 - y^{2}}{N}$

Schritt 5.3

Ersetze $N$ durch $x y^{2} + 4 y^{2}$ .

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Schritt 5.3.1

Ersetze $N$ durch $x y^{2} + 4 y^{2}$ .

$\frac{0 - y^{2}}{x y^{2} + 4 y^{2}}$

Schritt 5.3.2

Subtrahiere $y^{2}$ von $0$ .

$\frac{- y^{2}}{x y^{2} + 4 y^{2}}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2} + 4 y^{2}$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2}$ heraus.

$\frac{- y^{2}}{y^{2} x + 4 y^{2}}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $4 y^{2}$ heraus.

$\frac{- y^{2}}{y^{2} x + y^{2} \cdot 4}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} x + y^{2} \cdot 4$ heraus.

$\frac{- y^{2}}{y^{2} (x + 4)}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- y^{2}}{y^{2} (x + 4)}$

Schritt 5.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{x + 4}$

Schritt 5.3.5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{x + 4}$

Schritt 5.4

Bestimme den Integrationsfaktor $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{1}{x + 4} d x}$

Schritt 6

Berechne das Integral $e^{\int - \frac{1}{x + 4} d x}$ .

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Schritt 6.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{x + 4} d x}$

Schritt 6.2

Sei $u = x + 4$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 6.2.1

Es sei $u = x + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 6.2.1.1

Differenziere $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Schritt 6.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 6.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 6.2.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 6.2.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 6.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Schritt 6.3

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Schritt 6.4

Vereinfache.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Schritt 6.5

Ersetze alle $u$ durch $x + 4$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x + 4 |)} + C$

Schritt 6.6

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 6.6.1

Vereinfache $- \ln (| x + 4 |)$ , indem du $- 1$ in den Logarithmus ziehst.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x + 4 |}^{- 1})} + C$

Schritt 6.6.2

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$μ (x, y) = {| x + 4 |}^{- 1} + C$

Schritt 6.6.3

Schreibe den Ausdruck um mithilfe der Regel des negativen Exponenten $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x + 4 |} + C$

Schritt 7

Multipliziere beide Seiten von $- 5 x d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$ mit dem Integrationsfaktor $\frac{1}{x + 4}$ .

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Schritt 7.1

Mutltipliziere $- 5 x$ mit $\frac{1}{x + 4}$ .

$- 5 x \frac{1}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.2

Multipliziere $- 5 x \frac{1}{x + 4}$ .

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Schritt 7.2.1

Kombiniere $- 5$ und $\frac{1}{x + 4}$ .

$x \frac{- 5}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.2.2

Kombiniere $x$ und $\frac{- 5}{x + 4}$ .

$\frac{x \cdot - 5}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.3

Bringe $- 5$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{- 5 \cdot x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) d y = 0$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $x y^{2} + 4 y^{2}$ mit $\frac{1}{x + 4}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + (x y^{2} + 4 y^{2}) \frac{1}{x + 4} d y = 0$

Schritt 7.6

Mutltipliziere $x y^{2} + 4 y^{2}$ mit $\frac{1}{x + 4}$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{x y^{2} + 4 y^{2}}{x + 4} d y = 0$

Schritt 7.7

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2} + 4 y^{2}$ heraus.

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Schritt 7.7.1

Faktorisiere $y^{2}$ aus $x y^{2}$ heraus.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} x + 4 y^{2}}{x + 4} d y = 0$

Schritt 7.7.2

Faktorisiere $y^{2}$ aus $4 y^{2}$ heraus.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} x + y^{2} \cdot 4}{x + 4} d y = 0$

Schritt 7.7.3

Faktorisiere $y^{2}$ aus $y^{2} x + y^{2} \cdot 4$ heraus.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} (x + 4)}{x + 4} d y = 0$

Schritt 7.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 4$ .

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Schritt 7.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + \frac{y^{2} (x + 4)}{x + 4} d y = 0$

Schritt 7.8.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$- \frac{5 x}{x + 4} d x + y^{2} d y = 0$

Schritt 8

Setze $f (x, y)$ gleich dem Integral von $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y^{2} d y$

Schritt 9

Integriere $N (x, y) = y^{2}$ , um $f (x, y)$ zu finden.

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Schritt 9.1

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $y^{2}$ nach $y$ gleich $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + C$

Schritt 10

Da das Integral von $g (x)$ eine Integrationskonstante enthalten wird, können wir $C$ durch $g (x)$ ersetzen.

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$

Schritt 11

Setze $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Schritt 12

Ermittle $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Schritt 12.1

Differenziere $f$ nach $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3} + g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Schritt 12.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $\frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{3} y^{3}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Schritt 12.3

Da $\frac{1}{3} y^{3}$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $\frac{1}{3} y^{3}$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = - \frac{5 x}{x + 4}$

Schritt 12.4

Differenziere unter Anwendung der Funktionsregel, die besagt, dass die Ableitung von $g (x)$ $\frac{d g}{d x}$ ist.

$0 + \frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Schritt 12.5

Addiere $0$ und $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$

Schritt 13

Bestimme die Stammfunktion von $- \frac{5 x}{x + 4}$ , um $g (x)$ zu finden.

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Schritt 13.1

Integriere beide Seiten von $\frac{d g}{d x} = - \frac{5 x}{x + 4}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int - \frac{5 x}{x + 4} d x$

Schritt 13.2

Berechne $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int - \frac{5 x}{x + 4} d x$

Schritt 13.3

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (x) = - \int \frac{5 x}{x + 4} d x$

Schritt 13.4

Da $5$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $5$ aus dem Integral.

$g (x) = - (5 \int \frac{x}{x + 4} d x)$

Schritt 13.5

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$g (x) = - 5 \int \frac{x}{x + 4} d x$

Schritt 13.6

Dividiere $x$ durch $x + 4$ .

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Schritt 13.6.1

Stelle die zu dividierenden Polynome auf. Wenn es nicht für jeden Exponenten einen Term gibt, setze einen ein mit dem Wert $0$ .

$x$

$4$

$x$

$0$

Schritt 13.6.2

Dividiere den Term höchster Ordnung im Dividend $x$ durch den Term höchster Ordnung im Divisor $x$ .

					$1$
	$x$	+	$4$		$x$	+	$0$

Schritt 13.6.3

Multipliziere den neuen Bruchterm mit dem Teiler.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$4$

Schritt 13.6.4

Der Ausdruck muss vom Dividenden abgezogen werden, ändere also alle Vorzeichen in $x + 4$

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$4$

Schritt 13.6.5

Addiere nach dem Wechsel der Vorzeichen den letzten Dividenden des ausmultiplizierten Polynoms, um den neuen Dividenden zu finden.

				$1$
$x$	+	$4$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$4$
					-	$4$

Schritt 13.6.6

Die endgültige Lösung ist der Quotient plus dem Rest geteilt durch den Divisor.

$g (x) = - 5 \int 1 - \frac{4}{x + 4} d x$

Schritt 13.7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$g (x) = - 5 (\int d x + \int - \frac{4}{x + 4} d x)$

Schritt 13.8

Wende die Konstantenregel an.

$g (x) = - 5 (x + C + \int - \frac{4}{x + 4} d x)$

Schritt 13.9

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$g (x) = - 5 (x + C - \int \frac{4}{x + 4} d x)$

Schritt 13.10

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $4$ aus dem Integral.

$g (x) = - 5 (x + C - (4 \int \frac{1}{x + 4} d x))$

Schritt 13.11

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$g (x) = - 5 (x + C - 4 \int \frac{1}{x + 4} d x)$

Schritt 13.12

Sei $u = x + 4$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 13.12.1

Es sei $u = x + 4$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 13.12.1.1

Differenziere $x + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x + 4]$

Schritt 13.12.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x + 4$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 13.12.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [4]$

Schritt 13.12.1.4

Da $4$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $4$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 13.12.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 13.12.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$g (x) = - 5 (x + C - 4 \int \frac{1}{u} d u)$

Schritt 13.13

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$g (x) = - 5 (x + C - 4 (\ln (| u |) + C))$

Schritt 13.14

Vereinfache.

$g (x) = - 5 (x - 4 \ln (| u |)) + C$

Schritt 13.15

Ersetze alle $u$ durch $x + 4$ .

$g (x) = - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Schritt 14

Setze $g (x)$ in $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} + g (x)$ ein.

$f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Schritt 15

Vereinfache $f (x, y) = \frac{1}{3} y^{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$ .

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Schritt 15.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.1

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - 4 \ln (| x + 4 |)) + C$

Schritt 15.1.2

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 15.1.2.1

Vereinfache $- 4 \ln (| x + 4 |)$ , indem du $4$ in den Logarithmus ziehst.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - \ln ({| x + 4 |}^{4})) + C$

Schritt 15.1.2.2

Entferne den Absolutwert in ${| x + 4 |}^{4}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 (x - \ln ({(x + 4)}^{4})) + C$

Schritt 15.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x - 5 (- \ln ({(x + 4)}^{4})) + C$

Schritt 15.1.4

Multipliziere $- 5 (- \ln ({(x + 4)}^{4}))$ .

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Schritt 15.1.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 5$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + 5 \ln ({(x + 4)}^{4}) + C$

Schritt 15.1.4.2

Vereinfache $5 \ln ({(x + 4)}^{4})$ , indem du $5$ in den Logarithmus ziehst.

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({({(x + 4)}^{4})}^{5}) + C$

Schritt 15.1.5

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 4)}^{4})}^{5}$ .

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Schritt 15.1.5.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({(x + 4)}^{4 \cdot 5}) + C$

Schritt 15.1.5.2

Mutltipliziere $4$ mit $5$ .

$f (x, y) = \frac{y^{3}}{3} - 5 x + \ln ({(x + 4)}^{20}) + C$

Schritt 15.2

Um $\ln ({(x + 4)}^{20})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3}}{3} + \ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot \frac{3}{3} + C$

Schritt 15.3

Kombiniere $\ln ({(x + 4)}^{20})$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3}}{3} + \frac{\ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3}{3} + C$

Schritt 15.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3}{3} + C$

Schritt 15.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 15.5.1

Multipliziere $\ln ({(x + 4)}^{20}) \cdot 3$ .

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Schritt 15.5.1.1

Stelle $\ln ({(x + 4)}^{20})$ und $3$ um.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + 3 \cdot \ln ({(x + 4)}^{20})}{3} + C$

Schritt 15.5.1.2

Vereinfache $3 \cdot \ln ({(x + 4)}^{20})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({({(x + 4)}^{20})}^{3})}{3} + C$

Schritt 15.5.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 4)}^{20})}^{3}$ .

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Schritt 15.5.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{20 \cdot 3})}{3} + C$

Schritt 15.5.2.2

Mutltipliziere $20$ mit $3$ .

$f (x, y) = - 5 x + \frac{y^{3} + \ln ({(x + 4)}^{60})}{3} + C$