Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = \cot (x)$ , $y (- 1) = 8$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = \cot (x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int \cot (x) d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int \cot (x) d x$

Schritt 2.3

Das Integral von $\cot (x)$ nach $x$ ist $\ln (| \sin (x) |)$ .

$y + C_{1} = \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$y = \ln (| \sin (x) |) + C$

Schritt 3

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $C$ zu finden indem $- 1$ für $x$ und $8$ für $y$ in $y = \ln (| \sin (x) |) + C$ ersetzt wird.

$8 = \ln (| \sin (- 1) |) + C$

Schritt 4

Löse nach $C$ auf.

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Schritt 4.1

Schreibe die Gleichung als $\ln (| \sin (- 1) |) + C = 8$ um.

$\ln (| \sin (- 1) |) + C = 8$

Schritt 4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.2.1.1

Berechne $\sin (- 1)$ .

$\ln (| - 0.0174524 |) + C = 8$

Schritt 4.2.1.2

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $- 0.0174524$ und $0$ ist $0.0174524$ .

$\ln (0.0174524) + C = 8$

Schritt 4.3

Subtrahiere $\ln (0.0174524)$ von beiden Seiten der Gleichung.

$C = 8 - \ln (0.0174524)$

Schritt 5

Setze $8 - \ln (0.0174524)$ für $C$ in $y = \ln (| \sin (x) |) + C$ ein und vereinfache.

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Schritt 5.1

Ersetze $C$ durch $8 - \ln (0.0174524)$ .

$y = \ln (| \sin (x) |) + 8 - \ln (0.0174524)$

Schritt 5.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$y = \ln (\frac{| \sin (x) |}{0.0174524}) + 8$

Schritt 5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \ln (\frac{1 | \sin (x) |}{0.0174524}) + 8$

Schritt 5.3.2

Faktorisiere $0.0174524$ aus $0.0174524$ heraus.

$y = \ln (\frac{1 | \sin (x) |}{0.0174524 (1)}) + 8$

Schritt 5.3.3

Separiere Brüche.

$y = \ln (\frac{1}{0.0174524} \cdot \frac{| \sin (x) |}{1}) + 8$

Schritt 5.3.4

Dividiere $1$ durch $0.0174524$ .

$y = \ln (57.29868849 \frac{| \sin (x) |}{1}) + 8$

Schritt 5.3.5

Dividiere $| \sin (x) |$ durch $1$ .

$y = \ln (57.29868849 | \sin (x) |) + 8$