Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = x^{2} \sqrt{x - 1}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$d y = x^{2} \sqrt{x - 1} d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int d y = \int x^{2} \sqrt{x - 1} d x$

Schritt 2.2

Wende die Konstantenregel an.

$y + C_{1} = \int x^{2} \sqrt{x - 1} d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Integriere partiell durch Anwendung der Formel $\int u d v = u v - \int v d u$ , mit $u = x^{2}$ und $d v = \sqrt{x - 1}$ .

$y + C_{1} = x^{2} (\frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}) - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Schritt 2.3.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = x^{2} \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Schritt 2.3.2.2

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \int \frac{2}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (2 x) d x$

Schritt 2.3.3

Da $\frac{2}{3} \cdot 2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $\frac{2}{3} \cdot 2$ aus dem Integral.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 2 \int {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Schritt 2.3.4

Vereinfache.

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Schritt 2.3.4.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - (\frac{2 \cdot 2}{3} \int {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x)$

Schritt 2.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} (x) d x$

Schritt 2.3.5

Sei $u = x - 1$ . Dann ist $d u = d x$ . Forme um unter Vewendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.5.1

Es sei $u = x - 1$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.5.1.1

Differenziere $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Schritt 2.3.5.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $x - 1$ nach $x$ $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.5.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ gleich $n x^{n - 1}$ ist mit $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Schritt 2.3.5.1.4

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ist die Ableitung von $- 1$ bezüglich $x$ gleich $0$ .

$1 + 0$

Schritt 2.3.5.1.5

Addiere $1$ und $0$ .

$1$

Schritt 2.3.5.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} (u + 1) d u$

Schritt 2.3.6

Multipliziere $u^{\frac{3}{2}} (u + 1)$ aus.

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Schritt 2.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + u^{\frac{3}{2}} \cdot 1 d u$

Schritt 2.3.6.2

Stelle $u^{\frac{3}{2}}$ und $1$ um.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u + 1 \cdot u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 2.3.6.3

Potenziere $u$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2}} u^{1} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 2.3.6.4

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + 1} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 2.3.6.5

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3}{2} + \frac{2}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 2.3.6.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{3 + 2}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 2.3.6.7

Addiere $3$ und $2$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} + 1 u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 2.3.6.8

Mutltipliziere $u^{\frac{3}{2}}$ mit $1$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} \int u^{\frac{5}{2}} + u^{\frac{3}{2}} d u$

Schritt 2.3.7

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\int u^{\frac{5}{2}} d u + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 2.3.8

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{5}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C_{2} + \int u^{\frac{3}{2}} d u)$

Schritt 2.3.9

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u^{\frac{3}{2}}$ nach $u$ gleich $\frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{x^{2} (2 {(x - 1)}^{\frac{3}{2}})}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + C_{2} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}} + C_{3})$

Schritt 2.3.10

Vereinfache.

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Schritt 2.3.10.1

Vereinfache.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C_{4}$

Schritt 2.3.10.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.10.2.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x^{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2}}{3} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C_{4}$

Schritt 2.3.10.2.2

Kombiniere $\frac{2 x^{2}}{3}$ und ${(x - 1)}^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) + C_{4}$

Schritt 2.3.10.2.3

Um $- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot \frac{3}{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.10.2.4

Kombiniere $- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}})$ und $\frac{3}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{- \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.10.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2}{7} u^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.10.2.6

Kombiniere $\frac{2}{7}$ und $u^{\frac{7}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2}{5} u^{\frac{5}{2}}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.10.2.7

Kombiniere $\frac{2}{5}$ und $u^{\frac{5}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - \frac{4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5}) \cdot 3}{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.10.2.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 3 (\frac{4}{3}) (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.10.2.9

Kombiniere $- 3$ und $\frac{4}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.10.2.10

Mutltipliziere $- 3$ mit $4$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 12}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.10.2.11

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 12$ und $3$ .

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Schritt 2.3.10.2.11.1

Faktorisiere $3$ aus $- 12$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.10.2.11.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.10.2.11.2.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 (1)} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.10.2.11.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{3 \cdot - 4}{3 \cdot 1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.10.2.11.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} + \frac{- 4}{1} (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.10.2.11.2.4

Dividiere $- 4$ durch $1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 u^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 u^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.11

Ersetze alle $u$ durch $x - 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2 {(x - 1)}^{\frac{7}{2}}}{7} + \frac{2 {(x - 1)}^{\frac{5}{2}}}{5})}{3} + C_{4}$

Schritt 2.3.12

Stelle die Terme um.

$y + C_{1} = \frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2}{7} {(x - 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})) + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$y = \frac{1}{3} (2 x^{2} {(x - 1)}^{\frac{3}{2}} - 4 (\frac{2}{7} {(x - 1)}^{\frac{7}{2}} + \frac{2}{5} {(x - 1)}^{\frac{5}{2}})) + K$