Analysis Beispiele

$\frac{d x}{d t} = x^{2} + \frac{1}{36}$ , $x (0) = 2$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}}$ .

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

Schritt 1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2} + \frac{1}{36}$ .

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} (x^{2} + \frac{1}{36})$

Schritt 1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} \frac{d x}{d t} = 1$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = 1 d t$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{36}} d x = \int d t$

Schritt 2.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 2.2.1

Stelle $x^{2}$ und $\frac{1}{36}$ um.

$\int \frac{1}{\frac{1}{36} + x^{2}} d x = \int d t$

Schritt 2.2.2

Schreibe $\frac{1}{36}$ als ${(\frac{1}{6})}^{2}$ um.

$\int \frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}} d x = \int d t$

Schritt 2.2.3

Das Integral von $\frac{1}{{(\frac{1}{6})}^{2} + x^{2}}$ nach $x$ ist $\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{6}} \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.2.4

Vereinfache.

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Schritt 2.2.4.1

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{6}$ zu dividieren.

$1 \cdot 6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.2.4.2

Mutltipliziere $6$ mit $1$ .

$6 \arctan (\frac{x}{\frac{1}{6}}) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.2.4.3

Multipliziere mit dem Kehrwert des Bruchs, um durch $\frac{1}{6}$ zu dividieren.

$6 \arctan (x \cdot 6) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.2.4.4

Bringe $6$ auf die linke Seite von $x$ .

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = \int d t$

Schritt 2.3

Wende die Konstantenregel an.

$6 \arctan (6 x) + C_{1} = t + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$6 \arctan (6 x) = t + K$

Schritt 3

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 \arctan (6 x) = t + K$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.1.1

Teile jeden Ausdruck in $6 \arctan (6 x) = t + K$ durch $6$ .

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Schritt 3.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \arctan (6 x)}{6} = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Schritt 3.1.2.1.2

Dividiere $\arctan (6 x)$ durch $1$ .

$\arctan (6 x) = \frac{t}{6} + \frac{K}{6}$

Schritt 3.2

Ziehe den inversen Arkustangens auf beiden Seiten der Gleichung, um $x$ aus dem Inneren des Arkustangens zu extrahieren.

$6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ durch $6$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 x = \tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})$ durch $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 x}{6} = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + \frac{K}{6})}{6}$

Schritt 4

Vereinfache die Konstante der Integration.

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$

Schritt 5

Verwende die Anfangsbedingung um die Werte für $K$ zu finden indem $0$ für $t$ und $2$ für $x$ in $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ ersetzt wird.

$2 = \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6}$

Schritt 6

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$ um.

$\frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 2$

Schritt 6.2

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $6$ .

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Schritt 6.3

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 6.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 6.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$6 \frac{\tan (\frac{0}{6} + K)}{6} = 6 \cdot 2$

Schritt 6.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 6 \cdot 2$

Schritt 6.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.3.2.1

Mutltipliziere $6$ mit $2$ .

$\tan (\frac{0}{6} + K) = 12$

Schritt 6.4

Wende den inversen Tangens auf beide Seiten der Gleichung an, um $K$ aus dem Tangens herauszuziehen.

$\frac{0}{6} + K = \arctan (12)$

Schritt 6.5

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 6.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{0}{6} + K$ .

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Schritt 6.5.1.1

Dividiere $0$ durch $6$ .

$0 + K = \arctan (12)$

Schritt 6.5.1.2

Addiere $0$ und $K$ .

$K = \arctan (12)$

Schritt 6.6

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 6.6.1

Berechne $\arctan (12)$ .

$K = 1.48765509$

Schritt 6.7

Die Tangensfunktion ist im ersten und dritten Quadranten positiv. Um die zweite Lösung zu finden, addiere den Referenzwinkel von $π$ , um die Lösung im vierten Quadranten zu ermitteln.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

Schritt 6.8

Löse nach $K$ auf.

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Schritt 6.8.1

Entferne die Klammern.

$K = 3.14159265 + 1.48765509$

Schritt 6.8.2

Entferne die Klammern.

$K = (3.14159265) + 1.48765509$

Schritt 6.8.3

Addiere $3.14159265$ und $1.48765509$ .

$K = 4.62924774$

Schritt 6.9

Ermittele die Periode von $\tan (\frac{0}{6} + K)$ .

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Schritt 6.9.1

Die Periode der Funktion kann mithilfe von $\frac{π}{| b |}$ berechnet werden.

$\frac{π}{| b |}$

Schritt 6.9.2

Ersetze $b$ durch $1$ in der Formel für die Periode.

$\frac{π}{| 1 |}$

Schritt 6.9.3

Der Absolutwert ist der Abstand zwischen einer Zahl und null. Der Abstand zwischen $0$ und $1$ ist $1$ .

$\frac{π}{1}$

Schritt 6.9.4

Dividiere $π$ durch $1$ .

$π$

Schritt 6.10

Die Periode der Funktion $\tan (\frac{0}{6} + K)$ ist $π$ , d. h., Werte werden sich alle $π$ rad in beide Richtungen wiederholen.

$K = 1.48765509 + π n, 4.62924774 + π n$ , für jede Ganzzahl $n$

Schritt 6.11

Führe $1.48765509 + π n$ und $4.62924774 + π n$ zu $1.48765509 + π n$ zusammen.

$K = 1.48765509 + π n$

Schritt 7

Setze $1.48765509 + π n$ für $K$ in $x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + K)}{6}$ ein und vereinfache.

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Schritt 7.1

Ersetze $K$ durch $1.48765509 + π n$ .

$x = \frac{\tan (\frac{t}{6} + 1.48765509 + π n)}{6}$