Analysis Beispiele

$(y^{2} + 2) d x - x y d y = 0$

Schritt 1

Subtrahiere $(y^{2} + 2) d x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y d y = - (y^{2} + 2) d x$

Schritt 2

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{x (y^{2} + 2)}$ .

$\frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Schritt 3

Vereinfache.

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Schritt 3.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Schritt 3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x (y^{2} + 2)}$ in den Zähler.

$\frac{- 1}{x (y^{2} + 2)} (x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Schritt 3.2.2

Faktorisiere $x$ aus $x y$ heraus.

$\frac{- 1}{x (y^{2} + 2)} (x (y)) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Schritt 3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 1}{x (y^{2} + 2)} (x y) d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Schritt 3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 1}{y^{2} + 2} y d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Schritt 3.3

Kombiniere $\frac{- 1}{y^{2} + 2}$ und $y$ .

$\frac{- y}{y^{2} + 2} d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Schritt 3.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (- (y^{2} + 2)) d x$

Schritt 3.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = - \frac{1}{x (y^{2} + 2)} (y^{2} + 2) d x$

Schritt 3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2} + 2$ .

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Schritt 3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{x (y^{2} + 2)}$ in den Zähler.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{- 1}{x (y^{2} + 2)} (y^{2} + 2) d x$

Schritt 3.6.2

Faktorisiere $y^{2} + 2$ aus $x (y^{2} + 2)$ heraus.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 2) x} (y^{2} + 2) d x$

Schritt 3.6.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{- 1}{(y^{2} + 2) x} (y^{2} + 2) d x$

Schritt 3.6.4

Forme den Ausdruck um.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Schritt 3.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{y}{y^{2} + 2} d y = - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4

Integriere beide Seiten.

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Schritt 4.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int - \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2

Integriere die linke Seite.

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Schritt 4.2.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $y$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \int \frac{y}{y^{2} + 2} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.2

Sei $u = y^{2} + 2$ . Dann ist $d u = 2 y d y$ , folglich $\frac{1}{2} d u = y d y$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 4.2.2.1

Es sei $u = y^{2} + 2$ . Ermittle $\frac{d u}{d y}$ .

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Schritt 4.2.2.1.1

Differenziere $y^{2} + 2$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 2]$

Schritt 4.2.2.1.2

Gemäß der Summenregel ist die Ableitung von $y^{2} + 2$ nach $y$ $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [2]$

Schritt 4.2.2.1.3

Differenziere unter Anwendung der Potenzregel, die besagt, dass $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ gleich $n y^{n - 1}$ ist mit $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [2]$

Schritt 4.2.2.1.4

Da $2$ konstant bezüglich $y$ ist, ist die Ableitung von $2$ bezüglich $y$ gleich $0$ .

$2 y + 0$

Schritt 4.2.2.1.5

Addiere $2 y$ und $0$ .

$2 y$

Schritt 4.2.2.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$- \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3

Vereinfache.

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Schritt 4.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{1}{u}$ mit $\frac{1}{2}$ .

$- \int \frac{1}{u \cdot 2} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.3.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $u$ .

$- \int \frac{1}{2 u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.4

Da $\frac{1}{2}$ konstant bezüglich $u$ ist, ziehe $\frac{1}{2}$ aus dem Integral.

$- (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u) = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.5

Das Integral von $\frac{1}{u}$ nach $u$ ist $\ln (| u |)$ .

$- \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.6

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.2.7

Ersetze alle $u$ durch $y^{2} + 2$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 4.3.1

Da $- 1$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $- 1$ aus dem Integral.

$- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Schritt 4.3.2

Das Integral von $\frac{1}{x}$ nach $x$ ist $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Schritt 4.3.3

Vereinfache.

$- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Schritt 4.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |) = - \ln (| x |) + C$

Schritt 5

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.1

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 2$ .

$- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |)) = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 5.2.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.2.1.1

Vereinfache $- 2 (- \frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 2 |))$ .

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Schritt 5.2.1.1.1

Kombiniere $\ln (| y^{2} + 2 |)$ und $\frac{1}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\ln (| y^{2} + 2 |)}{2}) = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.1.1.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{\ln (| y^{2} + 2 |)}{2}$ in den Zähler.

$- 2 \frac{- \ln (| y^{2} + 2 |)}{2} = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$2 (- 1) \frac{- \ln (| y^{2} + 2 |)}{2} = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$2 \cdot - 1 \frac{- \ln (| y^{2} + 2 |)}{2} = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.2.4

Forme den Ausdruck um.

$- - \ln (| y^{2} + 2 |) = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.3

Multipliziere.

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Schritt 5.2.1.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 \ln (| y^{2} + 2 |) = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.1.1.3.2

Mutltipliziere $\ln (| y^{2} + 2 |)$ mit $1$ .

$\ln (| y^{2} + 2 |) = - 2 (- \ln (| x |) + C)$

Schritt 5.2.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.2.2.1

Vereinfache $- 2 (- \ln (| x |) + C)$ .

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Schritt 5.2.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\ln (| y^{2} + 2 |) = - 2 (- \ln (| x |)) - 2 C$

Schritt 5.2.2.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$\ln (| y^{2} + 2 |) = 2 \ln (| x |) - 2 C$

Schritt 5.3

Bringe alle Terme, die einen Logarithmus enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

$\ln (| y^{2} + 2 |) - 2 \ln (| x |) = - 2 C$

Schritt 5.4

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.4.1

Vereinfache $\ln (| y^{2} + 2 |) - 2 \ln (| x |)$ .

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Schritt 5.4.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.4.1.1.1

Vereinfache $- 2 \ln (| x |)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$\ln (| y^{2} + 2 |) - \ln ({| x |}^{2}) = - 2 C$

Schritt 5.4.1.1.2

Entferne den Absolutwert in ${| x |}^{2}$ , da Exponentation mit geradzahligen Potenzen immer in positiven Werten resultiert.

$\ln (| y^{2} + 2 |) - \ln (x^{2}) = - 2 C$

Schritt 5.4.1.2

Nutze die Quotienteneigenschaft von Logarithmen, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}}) = - 2 C$

Schritt 5.5

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}})} = e^{- 2 C}$

Schritt 5.6

Schreibe $\ln (\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}}) = - 2 C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{- 2 C} = \frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}}$

Schritt 5.7

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.7.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}} = e^{- 2 C}$ um.

$\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}} = e^{- 2 C}$

Schritt 5.7.2

Multipliziere beide Seiten mit $x^{2}$ .

$\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}} x^{2} = e^{- 2 C} x^{2}$

Schritt 5.7.3

Vereinfache.

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Schritt 5.7.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.7.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x^{2}$ .

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Schritt 5.7.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{| y^{2} + 2 |}{x^{2}} x^{2} = e^{- 2 C} x^{2}$

Schritt 5.7.3.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$| y^{2} + 2 | = e^{- 2 C} x^{2}$

Schritt 5.7.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.7.3.2.1

Stelle die Faktoren in $e^{- 2 C} x^{2}$ um.

$| y^{2} + 2 | = x^{2} e^{- 2 C}$

Schritt 5.7.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 5.7.4.1

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 2 = \pm x^{2} e^{- 2 C}$

Schritt 5.7.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} = \pm x^{2} e^{- 2 C} - 2$

Schritt 5.7.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} e^{- 2 C} - 2}$

Schritt 6

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 6.1

Vereinfache die Konstante der Integration.

$y = \pm \sqrt{\pm x^{2} C - 2}$

Schritt 6.2

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = \pm \sqrt{C x^{2} - 2}$