Analysis Beispiele

$\frac{d y}{d x} = y x (x + 2)$

Schritt 1

Separiere die Variablen.

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Schritt 1.1

Multipliziere beide Seiten mit $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y x (x + 2))$

Schritt 1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y$ .

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Schritt 1.2.1.1

Faktorisiere $y$ aus $y x (x + 2)$ heraus.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (x + 2)))$

Schritt 1.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x (x + 2)))$

Schritt 1.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x (x + 2)$

Schritt 1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2$

Schritt 1.2.3

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 2$

Schritt 1.2.4

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x$

Schritt 1.3

Schreibe die Gleichung um.

$\frac{1}{y} d y = (x^{2} + 2 x) d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x^{2} + 2 x d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $\frac{1}{y}$ nach $y$ ist $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} + 2 x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Zerlege das einzelne Integral in mehrere Integrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 2 x d x$

Schritt 2.3.2

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x^{2}$ nach $x$ gleich $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 2 x d x$

Schritt 2.3.3

Da $2$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2$ aus dem Integral.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 2 \int x d x$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $x$ nach $x$ gleich $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Vereinfache.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{2}{2} x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 1 x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.5.2.3

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + C_{4}$

Schritt 2.3.6

Stelle die Terme um.

$\ln (| y |) + C_{1} = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $C$ zusammen.

$\ln (| y |) = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Um nach $y$ aufzulösen, schreibe die Gleichung mithilfe der Logarithmengesetze um.

$e^{\ln (| y |)} = e^{x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$

Schritt 3.2

Schreibe $\ln (| y |) = x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$e^{x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C} = | y |$

Schritt 3.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.3.1

Schreibe die Gleichung als $| y | = e^{x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$ um.

$| y | = e^{x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + C}$

Schritt 3.3.2

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $x^{3}$ .

$| y | = e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$

Schritt 3.3.3

Entferne den Term mit dem absoluten Wert. Dies erzeugt ein $\pm$ auf der rechten Seite der Gleichung, da $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$

Schritt 4

Gruppiere die konstanten Terme.

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Schritt 4.1

Schreibe $e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3} + C}$ als $e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3}} e^{C}$ um.

$y = \pm e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3}} e^{C}$

Schritt 4.2

Stelle $e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$ und $e^{C}$ um.

$y = \pm e^{C} e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$

Schritt 4.3

Kombiniere Konstanten mit Plus oder Minus.

$y = C e^{x^{2} + \frac{x^{3}}{3}}$