Analysis Beispiele

$e^{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 \ln (x)}{x} d x$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung um.

$e^{y} d y = \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

Schritt 2

Integriere beide Seiten.

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Schritt 2.1

Integriere auf beiden Seiten.

$\int e^{y} d y = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

Schritt 2.2

Das Integral von $e^{y}$ nach $y$ ist $e^{y}$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{2 \ln (x)}{x} d x d x$

Schritt 2.3

Integriere die rechte Seite.

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Schritt 2.3.1

Kombiniere $\frac{2 \ln (x)}{x}$ und $d x$ .

$e^{y} + C_{1} = \int \frac{2 \ln (x) d x}{x} d x$

Schritt 2.3.2

Da $2 d x$ konstant bezüglich $x$ ist, ziehe $2 d x$ aus dem Integral.

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \int \frac{\ln (x)}{x} d x$

Schritt 2.3.3

Sei $u = \ln (x)$ . Dann ist $d u = \frac{1}{x} d x$ , folglich $x d u = d x$ . Forme um unter Verwendung von $u$ und $d$ $u$ .

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Schritt 2.3.3.1

Es sei $u = \ln (x)$ . Ermittle $\frac{d u}{d x}$ .

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Schritt 2.3.3.1.1

Differenziere $\ln (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Schritt 2.3.3.1.2

Die Ableitung von $\ln (x)$ nach $x$ ist $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x}$

Schritt 2.3.3.2

Schreibe die Aufgabe mithlfe von $u$ und $d u$ neu.

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \int u d u$

Schritt 2.3.4

Gemäß der Potenzregel ist das Integral von $u$ nach $u$ gleich $\frac{1}{2} u^{2}$ .

$e^{y} + C_{1} = 2 d x (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$

Schritt 2.3.5

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.1

Schreibe $2 d x (\frac{1}{2} u^{2} + C_{2})$ als $2 d x \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$ um.

$e^{y} + C_{1} = 2 d x \frac{1}{2} u^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2

Vereinfache.

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Schritt 2.3.5.2.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2}{2} d x u^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.2

Kombiniere $\frac{2}{2}$ und $d x$ .

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 d x}{2} u^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.3.5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e^{y} + C_{1} = \frac{2 d x}{2} u^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.5.2.3.2

Dividiere $d x$ durch $1$ .

$e^{y} + C_{1} = d x u^{2} + C_{2}$

Schritt 2.3.6

Ersetze alle $u$ durch $\ln (x)$ .

$e^{y} + C_{1} = d x \ln^{2} (x) + C_{2}$

Schritt 2.3.7

Stelle die Terme um.

$e^{y} + C_{1} = \ln^{2} (x) d x + C_{2}$

Schritt 2.4

Fasse die Konstanten der Integration auf der rechten Seite als $K$ zusammen.

$e^{y} = \ln^{2} (x) d x + K$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{y}) = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

Schritt 3.2

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.2.1

Zerlege $\ln (e^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (e) = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

Schritt 3.2.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$y \cdot 1 = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$

Schritt 3.2.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = \ln (d x \ln^{2} (x) + K)$